学习笔记：Γ函数和B函数

定义1 含参变元的广义积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt 定义了参变元 $x$x 的一个函数 $\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt 。我们把这一函数叫做Γ函数（Gamma函数）。

引理1 Γ函数在 $(0,+\mathrm{\infty })$(0,+\infty) 有定义并且连续

证明 我们先证Γ函数在区间 $(0,+\mathrm{\infty })$(0,+\infty) 上每一点收敛于有穷级限，然后再证Γ函数的连续性。首先，我们把区间 $(0,+\mathrm{\infty })$(0,+\infty) 上的点分为三类， $x\in (0,1),x=1,x\in (1,+\mathrm{\infty })$x\in(0,1),x=1,x\in(1,+\infty) 。

(1) $x\in (0,1)$x\in(0,1)

此时 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt 既是无穷积分又是瑕积分，令 $\xi$\xi 是充分小的正数， ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt={\int }_0^{\xi }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt+{\int }_{\xi }^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\xi}t^{x-1}e^{-t}\,dt+\int_{\xi}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt 。已知该积分的被积部分在积分区间内恒为正，先观察后面一部分， $t^{x-1}$t^{x-1} 在 $[\xi ,+\mathrm{\infty })$[\xi,+\infty) 单调并且趋于 $0$0 ，积分 ${\int }_{\xi }^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt$\int_{\xi}^{+\infty}e^{-t}\,dt 收敛（ ${\int }_{\xi }^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt⩽{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt=1$\int_{\xi}^{+\infty}e^{-t}\,dt\leqslant\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\,dt=1 ），由狄里克莱判别法可知，积分 ${\int }_{\xi }^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\int_{\xi}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt 收敛；再观察前面一部分， $0<e^{-t}<1,\mathrm{\forall }t\in (0,\xi ]$0<e^{-t}<1,\forall t\in(0,\xi] ，所以 ${\int }_0^{\xi }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt<{\int }_0^{\xi }{t}^{x-1}dt=\frac{1}{x}{\int }_0^{\xi }d{t}^x=\frac{{\xi }^x}{x}$\int_{0}^{\xi}t^{x-1}e^{-t}\,dt<\int_{0}^{\xi}t^{x-1}\,dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{\xi}\,dt^x=\frac{\xi^x}{x} ，对每一个取定的 $x\in (0,1)$x\in(0,1) ，积分 ${\int }_0^{\xi }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{\xi}t^{x-1}e^{-t}\,dt 收敛。

(2) $x=1$x=1

${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt=1$\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\,dt=1

(3) $x\in (1,+\mathrm{\infty })$x\in(1,+\infty)

存在 $n\in \mathbf{\text{R}}$n\in\textbf{R} 使得 $n⩽x<n+1$n\leqslant x<n+1 ，逐㳄分部积分计算， $\begin{array}{rl}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\\ & =-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}d{e}^{-t}\\ & =-[t^{x-1}{e}^{-t}{|}_0^{+\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}d{t}^{x-1}]\\ & =\frac{1}{x-1}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-2}{e}^{-t}dt\\ & \cdots \\ & =\frac{1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-n}{e}^{-t}dt\\ & =\frac{1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{(x-n)-1}{e}^{-t}dt\end{array}$\begin{aligned} &\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\\ &=-\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}\,de^{-t}\\ &=-[t^{x-1}e^{-t}|_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\,dt^{x-1}]\\ &=\frac{1}{x-1}\int_{0}^{+\infty}t^{x-2}e^{-t}\,dt\\ &\cdots\\ &=\frac{1}{(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}\int_{0}^{+\infty}t^{x-n}e^{-t}\,dt\\ &=\frac{1}{(x-1)(x-2)\cdots(x-n)}\int_{0}^{+\infty}t^{(x-n)-1}e^{-t}\,dt \end{aligned}

通过这种方式，对于每一个取定的 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$x\in(1,+\infty) ，满足 $x-n\in [0,1)$x-n\in[0,1) ，积分转化成(1)种情形（或者(2)种情形，此时 $x=n$x=n ，计算终止于倒数第二行），从而可知它是收敛的。

然后证连续性，令 $a<1$a<1 是充分小的正数， $A>1$A>1 是充分大的正数，我们先证Γ函数在 $[a,A]$[a,A] 上的连续性。记 $f(x,v)={\int }_0^v{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$f(x,v)=\int_{0}^{v}t^{x-1}e^{-t}\,dt ，对每一取定的 $v\in (0,+\mathrm{\infty })$v\in(0,+\infty) ，我们说，关于 $x$x 的函数 $f(x,v)$f(x,v) 在 $[a,A]$[a,A] 上是连续的。

(i) $x\in [a,1)$x\in[a,1)

此时 ${\int }_0^1{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{1}t^{x-1}e^{-t}\,dt 是一个瑕积分，且容易看出， ${\int }_0^1{t}^{x-1}{e}^{-t}dt⩽{\int }_0^1{t}^{a-1}{e}^{-t}dt,\mathrm{\forall }x\in [a,1)$\int_{0}^{1}t^{x-1}e^{-t}\,dt\leqslant\int_{0}^{1}t^{a-1}e^{-t}\,dt,\forall x\in[a,1) 。刚才的分析指出，积分 ${\int }_0^1{t}^{a-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{1}t^{a-1}e^{-t}\,dt 是收敛的，对于任意 $\epsilon >0$\varepsilon>0 ，存在 ${\delta }^{\prime }\in (0,1)$\delta'\in(0,1) ， 就有${\int }_0^{{\delta }^{\prime }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt<\frac{\epsilon }{3}$\int_{0}^{\delta'}t^{a-1}e^{-t}\,dt<\frac{\varepsilon}{3} 。

(ii) $x\in [1,A]$x\in[1,A]

此时 ${\int }_0^v{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{v}t^{x-1}e^{-t}\,dt 是一个常义积分，由于被积函数在积分区间内恒为正，那么存在 ${\delta }^{″}\in (0,v)$\delta''\in(0,v) ，就有 ${\int }_0^{{\delta }^{″}}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt<\frac{\epsilon }{3}$\int_{0}^{\delta''}t^{a-1}e^{-t}\,dt<\frac{\varepsilon}{3} 。

令 $\delta =min\{{\delta }^{\prime },{\delta }^{″}\}$\delta=\min\{\delta',\delta''\} ，函数 $g(x,t)=t^{x-1}{e}^{-t}$g(x,t)=t^{x-1}e^{-t} 在 $[a,A]\times [\delta ,v]$[a,A]\times[\delta,v] 上连续，因而也是一致连续的，存在 ${\delta }^{‴}>0$\delta'''>0 ，只要 $$\begin{gathered} x_1,x_2\in [a,A],t_1,t_2\in [\delta ,v] \\ |x_1-x_2|<{\delta }^{‴},|t_1-t_2|<{\delta }^{‴} \end{gathered}$$x_1,x_2\in[a,A],t_1,t_2\in[\delta,v]\\\left|x_1-x_2\right|<\delta''',\left|t_1-t_2\right|<\delta''' ，就有 $|g(x_1,t_1)-g(x_2,t_2)|<\frac{\epsilon }{3(v-\delta )}$\left|g(x_1,t_1)-g(x_2,t_2)\right|<\frac{\varepsilon}{3(v-\delta)} 。

$x_0$x_0 是区间 $[a,A]$[a,A] 任意一点， $x\in [a.A]$x\in[a.A] ，只要 $|x-x_0|<{\delta }^{‴}$\left|x-x_0\right|<\delta''' ， 就有$\begin{array}{rl}& |f(x,v)-f(x_0,v)|\\ & =|{\int }_0^v(t^{x-1}-t^{x_0-1})e^{-t}dt|\\ & =|{\int }_0^{\delta }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt-{\int }_0^{\delta }{t}^{x_0-1}{e}^{-t}dt+{\int }_{\delta }^v(t^{x-1}-t^{x_0-1})e^{-t}dt|\\ & ⩽\left|{\int }_0^{\delta }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\right|+\left|{\int }_0^{\delta }{t}^{x_0-1}{e}^{-t}dt\right|+|{\int }_{\delta }^v(t^{x-1}-t^{x_0-1})e^{-t}dt|\\ & <\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon \end{array}$\begin{aligned} &\left|f(x,v)-f(x_0,v)\right|\\ &=\left|\int_{0}^{v}(t^{x-1}-t^{x_0-1})e^{-t}\,dt\right|\\ &=\left|\int_{0}^{\delta}t^{x-1}e^{-t}\,dt-\int_{0}^{\delta}t^{x_0-1}e^{-t}\,dt+\int_{\delta}^{v}(t^{x-1}-t^{x_0-1})e^{-t}\,dt\right|\\ &\leqslant\left|\int_{0}^{\delta}t^{x-1}e^{-t}\,dt\right|+\left|\int_{0}^{\delta}t^{x_0-1}e^{-t}\,dt\right|+\left|\int_{\delta}^{v}(t^{x-1}-t^{x_0-1})e^{-t}\,dt \right|\\ &<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon \end{aligned}

我们证明了对每一取定的 $v\in (0,+\mathrm{\infty })$v\in(0,+\infty) ，关于 $x$x 的函数 $f(x,v)$f(x,v) 在 $[a,A]$[a,A] 连续。

为了证明 $\mathrm{\Gamma }(x)$\Gamma(x) 在区间 $[a,A]$[a,A] 的连续性，只需证 $\mathrm{\Gamma }(x)$\Gamma(x) 对 $x\in [a,A]$x\in[a,A] 一致收敛。对于充分大的 $v>1$v>1 ， $$\begin{gathered} |\mathrm{\Gamma }(x)-f(x,v)|={\int }_v^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt⩽{\int }_v^{+\mathrm{\infty }}{t}^{A-1}{e}^{-t}dt \\ \mathrm{\forall }x\in [a,A] \end{gathered}$$\left|\Gamma(x)-f(x,v)\right|=\int_{v}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\leqslant\int_{v}^{+\infty}t^{A-1}e^{-t}\,dt\\\forall x\in[a,A] 。已知无穷积分 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{A-1}{e}^{-t}dt$\int_{0}^{+\infty}t^{A-1}e^{-t}\,dt 收敛，对于任意 $\epsilon >0$\varepsilon>0 ，存在 $\mathrm{\Delta }>1$\Delta>1 ，只要 $v>\mathrm{\Delta }$v>\Delta ，就有${\int }_v^{+\mathrm{\infty }}{t}^{A-1}{e}^{-t}dt<\epsilon$\int_{v}^{+\infty}t^{A-1}e^{-t}\,dt<\varepsilon ，于是只要 $v>\mathrm{\Delta }$v>\Delta ，就有 $|\mathrm{\Gamma }(x)-f(x,v)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in [a,A]$\left|\Gamma(x)-f(x,v)\right|<\varepsilon,\forall x\in[a,A] 。我们证明了当 $v\to +\mathrm{\infty }$v\rightarrow+\infty ，极限函数$\mathrm{\Gamma }(x)$\Gamma(x) 对 $x\in [a,A]$x\in[a,A] 一致收敛，从而 $\mathrm{\Gamma }(x)$\Gamma(x) 在区间 $[a,A]$[a,A] 连续。

最后，让 $a\to 0+$a\rightarrow0+ ， $A\to +\mathrm{\infty }$A\rightarrow+\infty ， $\mathrm{\Gamma }(x)$\Gamma(x) 在区间 $(0,+\mathrm{\infty })$(0,+\infty) 连续。证毕。