线性代数与矩阵之Jordan标准型与相似性

Apr 27, 2020 · 线性代数与矩阵 ·

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线性代数与矩阵之Jordan标准型与相似性

相似矩阵
相似矩阵的性质
相似矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵与可对角化条件
Jordan标准型

矩阵之间可以通过相似变换进行转换，这种转换保留了很多不变的性质。如果一个矩阵能够和一个对角矩阵相似，那么研究该矩阵就会简单许多，然而并不是所有的矩阵都可以相似对角化。但是，所有矩阵都可以与Jordan标准型相似。

相似矩阵

相似矩阵（英语：similar matrix）是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个$n × n$矩阵$A$与\[为相似矩阵当且仅当存在一个$n × n$的可逆矩阵$P$，使得： \]P^{{-1}}AP=B$$ $P$被称为矩阵$A$与$B$之间的相似变换矩阵。

相似变换是矩阵之间的一种等价关系，也就是说满足：

反身性：任意矩阵都与其自身相似。
对称性：如果$A$和$B$相似，那么$B$也和$A$相似。
传递性：如果$A$和$B$相似，$B$和$C$相似，那么$A$也和$C$相似。

相似矩阵的性质

相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。

两个相似的矩阵相同的性质主要有：

两者拥有同样的特征多项式。
两者的秩相等。
两者的行列式值相等。
两者的迹数相等。
两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

其实，后面四个性质都可以算是第一个性质的推论，我们在下一小节证明。

两个相似的矩阵可以看做是同一个线性变换的「两面」，即在两个不同的基下的表现。因此，在给定了矩阵$A$后，只要能找到一个与之相似而又足够「简单」的「规范形式」$B$，那么对A的研究就可以转化为对更简单的矩阵$B$的研究。

相似矩阵的特征值与特征向量

我们在相似矩阵性质中最常提到相似矩阵拥有同样的特征值，这其实是第1个性质：两者拥有同样的特征多项式的必然结果。我们从矩阵行列式的角度来证明。

证明：

假设$n$阶矩阵$A,B$相似，$A\sim B$，其特征多项式分别为： \[f(\lambda)=|A-\lambda I|\\g(\lambda)=|B-\lambda I|\] 由二者相似可知，存在可逆矩阵$P$，使得$B=P^{-1}AP$，即 \[|B-\lambda I|=|(P^{-1}AP)-\lambda I|=|(P^{-1}AP)-\lambda P^{-1}IP|\\ =|P^{-1}(A-\lambda I)P|\] 根据行列式性质，我们可以将其中的$P,P^{-1}$提出来： \[|P^{-1}(A-\lambda I)P|=|P^{-1}| |A-\lambda I| |P|=|A-\lambda I|\] 这是因为行列式的计算结果都是数字，且$|P^{-1}||P|=1$，综上可得 \[f(\lambda)=|A-\lambda I|=|B-\lambda I|=g(\lambda)\] 即矩阵$A,B$拥有相同的特征多项式，因此他们的的特征值也相同。

由于相似矩阵的特征多项式一样，他们的特征值也一样。而特征值是否为0决定了矩阵的秩，因此二者秩相等；特征值的和等于矩阵的迹，因此二者迹相等；特征值的积等于行列式值，因此两者的行列式值相等。

相似矩阵在不改变特征值的时候，特征向量有什么变化呢？

由于$B=P^{-1}AP$中，那么对于$B$的特征值$\lambda$与相应的特征向量$x_B$有： \[ Bx_B=\lambda x_B \] 将$B=P^{-1}AP$代入得： \[ \lambda x_B=Bx_B=P^{-1}APx_B \] 两边同时左乘$P$： \[ \lambda(Px_B)=PP^{-1}APx_B=A(Px_B) \] 由于$\lambda$也是$A$的特征值，那么$x_A=Px_B$就是$A$的特征向量。

相似矩阵与可对角化条件

首先我们引入一个定义：（详细有关正规矩阵的内容见笔记线性代数与矩阵之正规矩阵）

正规矩阵：在数学中，正规矩阵（英语：normal matrix）$A$是与自己的共轭转置满足交换律的复系数方块矩阵，也就是说，$A$满足 \[A^\ast A=AA^\ast\] 其中$A\ast$是$A$的共轭转置。如果$A$是实系数矩阵，则$A^\ast=A^T$。

可对角化条件：

可对角化的矩阵一定是正规矩阵吗？

不一定。

矩阵可对角化，意思就是矩阵与对角阵相似。
矩阵与对角阵相似，分为正交（酉）相似、和非正交（酉）相似。
正交（酉）相似于对角阵，当且仅当是正规矩阵。
非正规矩阵，可以与对角阵相似，但不是正交（酉）相似。

关于正交相似：在线性代数中，实对称矩阵一定可以对角化，而且是正交对角化，也叫正交相似于对角阵。

Jordan标准型

如果把矩阵转换成其相似的对角阵，那么矩阵的研究会简化许多。然而，可惜的是并不是所有矩阵都可以相似对角化。只有正规矩阵可以相似对角化，那么有没有另一种简单而标准的形态，使得矩阵都可与之相似呢？

答案是Jordan标准型。

Jordan标准型：是一种分块对角矩阵。 \[ J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}} \] 其中，每一个分块矩阵$J_i$都具备一种很简单的形状 \[ J_{i}=\begin{bmatrix} \lambda_{i}&1&\;&\;\\ \;&\lambda_{i}&\ddots &\;\\ \;&\;&\ddots &1\\ \;&\;&\;&\lambda_{i} \end{bmatrix} \] 其中主对角线上都是同一个系数，而对角线上方一排全是1。形同以上$J_{i}$的矩阵称为Jordan矩阵。而矩阵$J$中每一个这样的小块被称为Jordan块。

线性代数中有如下的结果：

对任意系数域为$\mathbb {K}$，例如实数域，复数域的矩阵$M$，只要其特征值都在$\mathbb {K}$中，就存在一个与之相似的Jordan标准型$J：M=PJP^{{-1}}$，其中$P$是一个可逆矩阵。并且满足：

矩阵$J$的特征值（计入重数）就是主对角线上的系数。
对于$J$的一个特征值$\lambda_i$，它的几何重数就是属于特征值$\lambda_i$的Jordan块的个数。
所有属于特征值$\lambda_i$的Jordan块的维数之和是特征值$\lambda_i$的代数重数。

Jordan定理：任意$n$阶矩阵$A$都与一个Jordan矩阵$J$相似。Jordan矩阵中的每一个Jordan块对应一个特征向量。若矩阵具有$n$个不同的特征向量，则可以对角化，此时其Jordan标准型$J$就是对角矩阵$Λ$。若出现重特征值，则特征向量个数可能变少，减少的数量取决于Jordan块大小。

Jordan标准型虽然很好，但是将矩阵转换为Jordan标准型并不是一个容易的过程。因此，Jordan标准型的应用也受到了限制。