线性代数与矩阵之特征值估计

特征值估计

• 盖尔圆方法
• 谱半径估计
• Hermite矩阵的Rayleigh商方法

盖尔圆方法

设\(A=(a_{ij})_{n*n}\)，称\(A\)的特征值集合为\(A\)的谱，特征值中模最大的为\(A\)的谱半径，记为\(\rho(A)\) \[\rho(A)=\max_i(\lambda_i)\] 记 \[R_i=|a_{i1}|+\dotsb+|a_{ii-1}|+|a_{ii+1}|+\dotsb+|a_{in}|（行和）\\ C_i=\{z||z-a_{ii}|≤R_i\}\] 称为\(A\)的第\(i\)个盖尔圆。可以看出，第\(i\)个盖尔圆以\(a_{ii}\)为圆心，\(R_i\)为半径。所有盖尔圆组成\(A\)的盖尔圆系 \[G=\bigcup_{i=1}^n C_i\]

定理：矩阵\(A\)的特征值必定在\(A\)的盖尔圆系中。

需要注意的是并不是每一个盖尔圆中都有特征值，但是在盖尔圆外必无特征值，例如 \[A=\begin{bmatrix} -4&-10\\1&6 \end{bmatrix}\] 第一个盖尔圆\(C_1\)为-4为圆心，10为半径的盖尔圆，第二个盖尔圆\(C_2\)为6为圆心，1为半径的盖尔圆。特征值为\(\lambda=-1\plusmn\sqrt{15}\)。\(C_1\)中有两个特征值，而\(C_2\)中没有特征值。

这样来看，盖尔圆和特征值之间的关系很弱，还是没法估计特征值，因此我们需要进一步探讨盖尔圆和特征值的关系。

定义：设\(A\in C^{n*n}\)，在\(A\)的\(n\)个盖尔圆中，有\(k\)个圆构成一个连通区（相切也算连通）但与其余\(n-k\)个盖尔圆都不相交，则称这个连通区域为\(k-区\)。

我们为什么要考虑连通区域呢？这是因为特征值个数和连通区包含的盖尔圆个数是对应的：

定理：\(A\)的盖尔圆的k-区中有且仅有\(A\)的k个特征值。

例如： \[A=\begin{bmatrix} 2&1&0\\1&4&0\\0&1&2 \end{bmatrix}， B=\begin{bmatrix} 0&1.2&0\\0&4&0.5\\0&0.5&1\end{bmatrix}\]

推论：

1. 如果\(A\)的n个盖尔圆互不相交，则\(A\)有n个互不相等的特征值。
2. 如果\(A\)的n个盖尔圆互不相交，则\(A\)一定对角相似。
3. 如果\(A\)的n个盖尔圆互不相交，则\(A\)的特征值都是实数。
4. 由于转置不改变特征值，又综合\(A^T\)的盖尔圆综合判断。

谱半径估计

定理：谱半径（谱范数）小于等于任一范数。简单的可以用行和范数和列和范数估计其上界。 设\(A=(a_{ij})_{n*n}\)， \[\rho_1=\max_{1≤i≤n}\{\sum_{j=1}^n|a_{ij}|\}，\rho_2=\max_{1≤j≤n}\{\sum_{i=1}^n|a_{ij}|\}\] 则\(\rho(A)≤\min(\rho_1,\rho_2)\)

Hermite矩阵的Rayleigh商方法

定义：设\(A\)是n阶Hermite矩阵，则\(\forall x ∈C^n，x^HAx ∈ R\)，可以定义一复变量的实值函数： \[R(x)=\frac{x^HAx}{x^Hx},\forall x \neq 0,x ∈ c^n\] 称此函数为\(A\)的Rayleigh商。

需要指出的是Rayleigh商的定义、定理只适用于Hermite矩阵。因为Hermite矩阵\(A\in C^{n*n}\)的特征值均为实数，所以可以把他们记作（按照大小进行排序）：\(\lambda_{min}=\lambda_n≤\lambda_{n-1}\dotsb≤\lambda_2≤\lambda_1=\lambda_{max}\)。

定理：\(\lambda_{min}\)是Rayleigh商的最小值，\(\lambda_{max}\)是Rayleigh商的最大值。 \[\lambda_{min}=\min_{x\in C^n,x\neq 0}R(x),\lambda_{max}=\max_{x\in C^n,x\neq 0}R(x)\]