测度论6之可测函数收敛性

可测函数收敛性

• 回顾函数列逐点收敛和一致收敛
• 逐点收敛和一致收敛定义与区别
• 一个例子逐点收敛却不一致收敛
• 依测度收敛（Converge in measure）
• 依测度收敛性质
• 几乎处处收敛、几乎一致收敛、依测度收敛的关系
• 依测度柯西序列（Cauchy sequence in measure）
• 证明附录
• 依测度收敛即为几乎处处实值

回顾函数列逐点收敛和一致收敛

逐点收敛和一致收敛定义与区别

逐点收敛也称点态收敛，（英语：pointwise convergence，或称简单收敛），是数学中描述一组函数序列向一个函数趋近的一种方式（函数趋近极限有其他不同方式，个中差异请小心分辨）。详细点讲，如果这组函数叙列在定义域中每点的取值都会趋于一个极限值，这时可以用每点的极限来定义这组函数序列的极限函数，被趋近的这个极限函数称作这个函数叙列的逐点极限。

定义1：(逐点收敛)极限函数：设\(\{f_{n}\}\)是一组有相同定义域的函数序列。序列\(\{f_{n}\}\)（逐点）收敛当且仅当存在函数\(f\)，使得在定义域中的每点\(x\)，都有： \[\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}(x)=f(x)\] 这时我们就说序列\(\{f_{n}\}\)（逐点）收敛到\(f\)，或说函数\(f\)是序列\(f_{n}\)的（逐点收敛）极限函数。可记为\(f_n→f \ pointwise\)

逐点收敛并不能保证函数列中函数的一些性质比如连续性。

定义2：一致收敛极限函数：让\(\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\)是定义在\(S\)上，值域为\(\mathbb {R}\)或\(\mathbb {C}\)的一组函数序列，若序列 \(\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}\)均匀收敛至函数\(f\)在集合\(S\)上，即表示对所有\(\epsilon >0\)，存在\(N∈\mathbb{N}\)，使得当所有\(n\geq N\)且 \(x∈ S\)时有 \[|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon.\] 这时我们就说序列\(\{f_{n}\}\)一致收敛(或均匀收敛)到\(f\)，或说函数\(f\)是序列\(f_{n}\)的一致连续极限函数。

一致收敛大致可想成：若函数序列\(f_n\)一致收敛至函数\(f\)，代表对所有定义域中的点\(x\)，\(f_n(x)\)收敛至\(f(x)\)会有（大致）相同的收敛速度（所以才会用“均匀”或“一致”来形容这种模式的收敛）。由于它对收敛要求较逐点收敛更强，故能保持一些重要的分析性质。

一致收敛可保持\(\Rightarrow\)连续性、黎曼可积性、积分可交换性、微分可交换性（这点不一定需要一定限制）。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中\(N\)的选取仅与\(\epsilon\)相关，而在逐点收敛中\(N\)还多了与点\(x\)相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

一个例子逐点收敛却不一致收敛

函数序列\(f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]\)，让\(f_{n}(x)=x^{n}\)，则\(\{f_{n}\}\)逐点收敛到（不连续）函数 \[ f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}, \] 但显然\(\{f_{n}\}\)并不一致收敛到该函数。因为对每个\(n\)，\(\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}\) 皆为 1，所以 \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}=1\neq 0 \] 这说明了序列\(\{f_{n}\}\)并不一致收敛。

依测度收敛（Converge in measure）

定义（依测度收敛）:几乎处处实值的可测函数序列\(\{f_n\}\)称为依测度收敛（convergent in measure），如果存在可测函数\(f\)，使得对任意\(\varepsilon\),有 \[ \lim_{n→∞}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|≥\varepsilon\})=0 \] 此时，我们就说\(\{f_n\}\)依测度收敛\(f\)，记作\(f_n→f\) in measure.

注：几乎处处实值指取值不是\(\{-\infty,+\infty\}\)。\(f_n→f\) in measure自动蕴含着(a)每个\(f_n\)都是几乎处处实值且可测的 (b) \(f\)是可测的。

例子1 概率论中的依概率测度收敛，是随机变量比较强的收敛，强于依分布收敛。

例子2 (处处不收敛但依测度收敛的例子)

在Lebesgue测度空间\((R,\mathcal{B},m)\)上，取\(E=(0,1]\)。构造函数序列如下：

第一步：将\((0,1]\)二等分，定义两个函数： \[f_1^{(1)}=\begin{cases} 1,\quad x\in (0,\frac{1}{2}]\\0,\quad x\in(\frac{1}{2},1] \end{cases}, f_2^{(1)}=\begin{cases} 0,\quad x\in (0,\frac{1}{2}]\\1,\quad x\in(\frac{1}{2},1] \end{cases} \] 第二步：将\((0,1]\)四等分、八等分、。。。依次作下去，到第\(n\)次分割时，将$(0,1]分成\(2^n\)份，并定义\(2^n\)个函数，每个函数\(f_j^{(n)}\)定义为 \[ f_j^{(n)}=\begin{cases} 1,\quad x\in (\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}]\\0,\quad x\notin (\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}] \end{cases} \] 即每个函数只有一小部分区间\((\frac{j-1}{2^n},\frac{j}{2^n}]\)为1，其他区间为0。

第三步：把函数\(\{f_j^{(n)}\}(j=1,2,\dotsb,2^n)\)按先上标再下标的顺序排列， \[ f_1^{(1)},f_2^{(1)},f_1^{(2)},f_2^{(2)},f_3^{(2)},f_4^{(2)},\dotsb,f_1^{(n)},f_2^{(n)},\dotsb,f_{2^n}^{(n)},\dotsb \] 其中\(f_j^{(n)}\)在这个序列里是 第\(2^n-2+j\)个函数。

显然，函数序列\(\{f_j^{(n)}\}\)在\(E\)上不收敛于0，因为序列中总有某一段区间上其值为1；但该序列趋于\(\infty\)的情况下，值为1的区间测度趋于0，所以该序列依Lebesgue测度\(m\)收敛于 0。

详细解释如下：

不收敛与依测度收敛

依测度收敛性质

在测度空间\((X,\mathcal{F},\mu)\)下有以下性质：

（1）\(f_n→f\) in measure \(\Leftrightarrow \ f_n-f→0\) in measure。证明是Trivial的。

（2）\(f_n→f\) in measure \(\Rightarrow \ f\) is a.e. real-valued。证明见附录依测度收敛即为几乎处处实值。

几乎处处收敛、几乎一致收敛、依测度收敛的关系

依测度柯西序列（Cauchy sequence in measure）

证明附录

依测度收敛即为几乎处处实值

\(f_n→f\) in measure \(\Rightarrow \ f\) is a.e. real-valued

证明：（提示：把\(f\)取\(\plusmn\infty\)的点分两种考虑：一种是\(f_n\)在这点取\(\plusmn\infty\)，于是\(f\)自然在这点取\(\plusmn\infty\)；另一种是\(f_n\)虽然在这点取有限值，但随着\(n→\infty\)， \(f_n→f\)趋于无穷大。）

令 [公式] ,则 公式。又因为每个 [公式] 都是几乎处处实值的，故 [公式] 。因此 [公式] 。

任取 [公式] ,对所有的 [公式] 都有：[公式] 因此[公式] 对所有的 [公式] 成立。 不等式的左边与 [公式] 无关；右边因为 [公式] ，故随着 [公式] 而趋于 [公式]

那么我们取 [公式] ,就得到 [公式] ，这就说明了 [公式] 是几乎处处实值。