测度论5之可测函数 Sep 16, 2020 · 测度论 · 分享到: 可测函数 点集上的函数 广义实数 点集上的连续函数与函数列的极限 >这时我们就说序列\(\{f_{n}\}\)（逐点）收敛到\(f\)，或说函数\(f\)是序列\(f_{n}\)的（逐点收敛）极限函数。 “几乎处处连续” 勒贝格可测函数 补充：稠密与疏朗 可测函数运算性质 简单函数 可测函数的构造 补充：集合与函数 点集上的函数 广义实数 定义1：广义实数：\(R\cup \{-∞,+∞\}\) 规定\(0\times\pm ∞=0\) 下面几种无穷运算无意义。 \[\frac{∞}{∞}，\frac{∞}{0}，\frac{a}{0}\\ (+∞)-(+∞)，(-∞)-(-∞)，(+∞)+(-∞)，(-∞)+(+∞)\] 点集上的连续函数与函数列的极限 定义2：对于在\(E\subset R^n\)上的函数\(f\)，我们用记号： \[E[f(x)>a]\] 表示\(E\)中满足\(f(x)>a\)的点\(x\)的集合全体，即 \[E[f(x)>a]=\{x|x ∈ E，f(x)>a\}\] 类似的可以定义：\(E[f(x)>a]，E[f(x)<a]，E[f(x)≥a]，E[f(x)≤a]，E[f(x)=a]，E[a<f(x)≤b]\)。 定义3：(逐点收敛)极限函数：设\(\{f_{n}\}\)是一组有相同定义域的函数序列。序列\(\{f_{n}\}\)（逐点）收敛当且仅当存在函数\(f\)，使得在定义域中的每点\(x\)，都有： \[\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}(x)=f(x)\] 这时我们就说序列\(\{f_{n}\}\)（逐点）收敛到\(f\)，或说函数\(f\)是序列\(f_{n}\)的（逐点收敛）极限函数。 -------- 定义4：一致收敛极限函数：让\(\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\)是定义在\(S\)上，值域为\(\mathbb {R}\)或\(\mathbb {C}\)的一组函数序列，若序列 \(\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}\)均匀收敛至函数\(f\)在集合\(S\)上，即表示对所有\(\epsilon >0\)，存在\(N∈\mathbb{N}\)，使得当所有\(n\geq N\)且 \(x∈ S\)时有 \[|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon.\] 这时我们就说序列\(\{f_{n}\}\)一致收敛到\(f\)，或说函数\(f\)是序列\(f_{n}\)的一致连续极限函数。 注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中\(N\)的选取仅与\(\epsilon\)相关，而在逐点收敛中\(N\)还多了与点\(x\)相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。 定理1：\(\{f_n(x)\}\)是点集\(E\)上的连续函数列，且一致收敛于\(f(x)\)，则\(f(x)\)是\(E\)上的连续函数。 点集上一致收敛的连续函数列，其一致连续极限函数连续。 定理2：点集\(E\)上的函数列\(\{f_n(x)\}\)不收敛与\(f(x)\)的点集合为 \[\bigcup_{k=1}^∞ \bigcap_{N=1}^∞ \bigcup_{n=N}^∞ E[|f_n(x)-f(x)|≥\frac{1}{k}]\] 这里不给出严格的证明，只讲如何理解这个式子。首先我们把式子化简如下： \[\bigcap_{N=1}^∞ \bigcup_{n=N}^∞ E_n\\ E_n=E[|f_n(x)-f(x)|≥\frac{1}{k}]\] 我们取得是\(E_n\)的上极限，所谓点集序列上极限就是序列中存在于无穷多个集合的元素，即这个点一直都在集合序列中。而\(E_n\)则是表示某个项\(f_n(x)\)和极限函数\(f(x)\)有差距的点，有差距的点一直存在与序列中表示不会收敛到极限函数。最后差距的大小用\(\frac{1}{k}\)表示，对所有大于0的差距取并集，则是所有不收敛的点。 “几乎处处连续” 定义：设有一个与集合\(E\subset R^n\)中的点\(x\)有关的命题\(P(x)\)。若除了\(E\)中的一个零测集以外，\(P(x)\)皆为真，则称\(P(x)\)在\(E\)上几乎处处是真的。简记为\(P(x)\)，\(a.e.\quad x ∈ E\)。 例如1：\(f(x)，g(x)\)在\(E\)上可测，若有 \[m(\{x ∈ E:f(x)\neq g(x)\})=0\] 则称\(f(x)与g(x)\)在\(E\)上几乎处处相等。也称\(f(x)与g(x)\)是对等的，记为\(f(x)=g(x)，a.e.\quad x ∈ E\) 例如1：\(f(x)\)在\(E\)上可测，若有 \[m(\{x ∈ E:|f(x)|<+∞\})=0\] 则称\(f(x)与g(x)\)在\(E\)上是几乎处处有限的。记为\(|f(x)|<∞，a.e.\quad x ∈ E\) 定理：几乎处处相等的一个性质—如果\(f(x)可测，且f(x)=g(x)，a.e. \quad x ∈ E\)可测，则\(g(x)\)可测. 证明：令\(A=\{x:f(x)\neq g(x)\}\)，则\(m(A)=0\)，且\(E-A\)是可测集。 \[\begin{aligned} &\{x ∈ E:g(x)>t\}\\ &=\{x ∈ E-A:g(x)>t\}\cup \{x ∈ A:g(x)>t\}\\ &=\{x ∈ E-A:f(x)>t\}\cup \{x ∈ A:g(x)>t\}\\ &第一个因为f(x)=g(x)，第二个因为m(A)=0\\ &=\{x ∈ E-A:f(x)>t\} 为可测集 \end{aligned}\] 由此可知，对于一个可测函数来说，当改变它在零测集上的值时不会改变函数的可测性 勒贝格可测函数 定义：可测函数：\(f(x)\)是定义在可测集\(E\subset R^n\)上的广义实值函数，如果对于\(\forall t ∈ R^1\)，有点集 \[\{x ∈ E:f(x)>t\}(或简写作x:f(x)>t)\] 是可测集，则称\(f(x)\)是在\(E\)上可测函数，或称\(f(x)\)在\(E\)上可测。 这一定义中虽然指的是对任意的\(t\in R^1\)，但实际上我们只需要对\(R^1\)中的一个稠密集中的元\(r\)，指出集合\(\{x:f(x)>r\}\)是可测集即可。 补充：稠密与疏朗 补充定义：稠密。若\(A⊂B且\bar A=B\)， 则称A在B中稠密，或称A是B的稠密子集。A的闭包等于B。 稠密的相对概念是无处稠密，又称疏朗。如果一个闭包的内核是空集，即\(\bar E^\circ=\emptyset\)，则称\(E\)在\(R^n\)上是无处稠密集（疏朗集）。 例如，\(E\subset R^n\)，若\(\bar E =R^n\)则称\(E\)为\(R^n\)中的稠密集。有理数集和无理数集都是稠密集。整数、\(集合\{1,1/2,1/3,\dots \}\)、Cantor集在实数轴\(R\)上是无处稠密集。 无处稠密的闭集的补集是一个稠密的开集，因此无处稠密集的补集是内部为稠密的集合。一个无处稠密集并不一定就是可忽略的。例如，如果\(X\)位于单位区间\([0,1]\)，不仅有可能有勒贝格测度为零的稠密集（例如有理数集），也有可能有测度为正数的无处稠密集。 例如（一个康托尔集的变体），从\([0,1]\)内移除所有形为\(a/2n\)的最简二进分数，以及旁边的区间\([a/2^n − 1/2^{2n+1}, a/2^n + 1/2^{2n+1}]\)；由于对于每一个\(n\)，这最多移除了总和为\(1/2^{n+1}\)的区间，留下的无处稠密集的测度就至少是\(1/2\)（实际上刚刚大于0.535……，因为重叠的原因），因此在某种意义上表示了\([0,1]\)的大多数空间。 定理：设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的函数，\(D\)是\(R^1\)中的一个稠密集。若对任意的\(r ∈ D\)，点集\(\{x:f(x)>r\}\)都是可测集，则对任意的\(t\in R^1\)，点集\(\{x:f(x)>t\}\)也是可测集。 证明：任选一个实数\(t\)，因为\(D\)在\(R^1\)中稠密，所以我们能够在\(D\)中取一点列\(\{r_k\}\)，使得 \[r_k≥t(k=1,2,\dotsb); \lim_{k→ ∞}r_k=t\] 我们有 \[\{x:f(x)>t\}=\bigcup_{k=1}^∞ \{x:f(x)>r_k\}\] 因为每一个点集\(\{x:f(x)>r_k\}\)都是可测集，可测集的任意并集也是可测集，所以\(\{x:f(x)>t\}\)也是可测集。 定理：等价定义：对于\(E\)上的可测函数\(f(x)，t ∈ R^1\)，则以下点集都可测： \(\{x:f(x)≤t\}=E-\{x:f(x)>t\}\) \(\{x:f(x)≥t\}=\bigcap\limits_{k=1}^∞\{x:f(x)>t-\frac{1}{k}\}\) \(\{x:f(x)<t\}=E-\{x:f(x)≥t\}\) \(\{x:f(x)=t\}=\{x:f(x)≥t\}\cap \{x:f(x)≤t\}\) \(\{x:f(x)<+∞\}=\bigcup\limits_{k=1}^∞\{x:f(x)<k\}\) \(\{x:f(x)=+∞\}=E-\{x:f(x)<+∞\}\) \(\{x:f(x)>-∞\}=\bigcup\limits_{k=1}^∞\{x:f(x)>-k\}\) \(\{x:f(x)=-∞\}=E-\{x:f(x)>-∞\}\) 可测函数运算性质 如果\(f(x)，g(x)\)在\(E\)上可测： \(f(x)在E_1，E_2\)上可测，那么\(f(x)在E_1\cup E_2\)上可测。 \(f(x)在E\)的子集上可测。 \(cf(x)，c ∈ R^1\)可测 \(f(x)\pm g(x)\)可测 \(f(x)\times g(x)\)可测 \(\sup_{k≥1}\{f_k(x)\}\)可测 \(\inf_{k≥1}\{f_k(x)\}\)可测 \(\overline{\lim}_{k→∞}\{f_k(x)\}\)可测 \(\underline{\lim}_{k→∞}\{f_k(x)\}\)可测 \({\lim}_{k→∞}\{f_k(x)\}=f(x)\)，且\(\{f_k(x)\}\)是可测函数列，那么\(f(x)\)可测 简单函数 定义：简单函数又称单纯函数，（英语：simple function），在数学的实分析中是指值域只有有限个值的实函数，类似阶梯函数。有些作者要求简单函数是可测的，因为在实际应用上，特别在讨论勒贝格积分时，必须是可测函数，要不然积分的定义没有意义。 对于取值为\(\{c_1,c_2,\dots,c_p\}\)的简单函数有： \[E=\bigcap_{i=1}^{p}E_i;E_i\cap E_j =\emptyset,i,j=1,2,3,\dots,p\\ f(x)=c_i; x ∈ E_i;\] 此外可以记\(f\)为 \[f(x)=\sum_{i=1}^p c_i \chi_{E_i}(x),x ∈ E\] 从而简单函数时有限个特征函数的线性组合。特别的，当每一个\(E_i\)都是一个矩体，那么\(f(x)\)是一个阶梯函数。显然对于简单函数\(f(x)，g(x)\)，\(f(x)\pm g(x)，f(x)\cdot g(x)\)都是简单函数。 如果简单函数中，每个值的集合\(E_i\)都是可测的，那么称\(f(x)\)是可测简单函数。 定理：简单函数逼近定理： （1）.非负可测函数：若\(f(x)\)是\(E\)上的非负可测简单函数，则存在非负可测简单函数渐升列： \[\varphi_k(x)≤\varphi_{k+1}(x)，k=1,2,\dots\\ \lim_{k→∞}\varphi_k(x)=f(x)，x ∈ E\] （2）.可测函数：若\(f(x)\)是\(E\)上的可测简单函数，则存在可测简单函数列\(\{\varphi_k(x)\}\)，使得\(|\varphi_k(x)|≤|f(x)|\)，且有 \[\lim_{k→∞}\varphi_k(x)=f(x)，x ∈ E\] 若\(f(x)\)还是有界的，则上述收敛是一致的。 证明：（1）对于任意自然数\(k\)，我们将\([0,k]\)划分称\(k\cdot 2^k\)等分，并记 \[E_{k,j}=\biggl\{x ∈ E:\frac{j-1}{2^k}≤f(x)<\frac{j}{2^k}\biggl\},\\ E_k=\biggl\{x ∈ E:f(x)≥k\biggl\},\\ j=1,2,\dotsb,k\cdot 2^k,k=1,2,\dotsb.\] 设函数为 \[\varphi_k(x)=\begin{cases} \frac{j-1}{2^k},\quad x ∈ E_{k,j},\\ k,\quad x ∈ E_{k}, \end{cases}\\ j=1,2,\dotsb,k\cdot 2^k,k=1,2,\dotsb.\] 可直接写成； \[\varphi_k(x)=k\chi_{E_k}(x)+\sum_{j=1}^{k2^k}\frac{j-1}{2^k}\chi_{E_{k,j}}(x),\chi(x)为特征函数\] 其效果如下图： 从图中很明显的看出：每个简单函数都是非负可测简单函数，并且函数列是递增的趋近于\(f(x)\)，即\(\lim\limits_{k→∞} \varphi_k(x)=f(x)，x ∈ E\)。 （2）对于任意可测函数\(f(x)\)我们可以把它分成非负0的部分\(f^+(x)\)和负数部分\(f^-(x)（为f(x)负数部分的绝对值）\)，所以\(f(x)=f^+(x)-f^-(x)\)。有第(1)部分证明和可测函数运算法则可知，\(f^+(x)\)与\(f^-(x)\)都是非负可测函数。于是存在可测简单函数列\(\{\varphi_k^{(1)}(x)\},\{\varphi_k^{(2)}(x)\}\)满足 \[\lim_{k→∞} \varphi_k^{(1)}(x)=f^+(x)，\lim_{k→∞} \varphi_k^{(2)}(x)=f^-(x)，x ∈ E\] 显然，可测函数的差\(\varphi_k^{(1)}(x)-\varphi_k^{(2)}(x)\)是简单可测函数，且有 \[\lim_{k→ i}[\varphi_k^{(1)}(x)-\varphi_k^{(2)}(x)]=f^+(x)-f^-(x)=f(x)， x ∈ E\] 定义：支集：对于在\(E\subset R^n\)上的函数\(f(x)\)，我们称点集 \[\overline{\{x:f(x)\neq 0\}}\] 为\(f(x)\)的支集，记为\(\mathop{supp}(f)\)。若\(f(x)\)的支集是有界的，则称\(f(x)\)是具有紧支集的函数。 可测函数的构造 补充：集合与函数 示性函数（特征函数，Characteristic function）可以代表不同的概念。最通常且多数通称为指示函数。 \[{\mathbf {1}}_{A}:X\to \{0,1\}或者写作\\ \chi(A)=\begin{cases} 1,\quad x ∈ A\\ 0,\quad x \notin A \end{cases}\] 其中在集合\(X\)中任一子集合\(A\),皆满足于集合\(A\)内一点为值1,于集合\(X − A\)内一点为值 0。 显然\(\chi(A)=\chi(B)\Leftrightarrow A=B\)。 一般的，示性函数（特征函数）的运算法则如下：