测度论4之Lebesgue--Stieltjes测度

Lebesgue-Stieltjes测度

• 定义Lebesgue-Stieltjes测度
• 从外测度到Lebesgue-Stieltjes测度

定义Lebesgue-Stieltjes测度

设\(F\)为\(R\)上的右连续增函数, 则在\(B(R)\)有唯一的\(σ\)有限测度\(µ_F\) 满足: \[µ_F((a, b]) = F(b) − F(a), a, b ∈ R, a ≤ b.\] \(µ_F\)称为由\(F\)决定的\(R\)上的Lebesgue-Stieltjes测度.

特殊的，如果\(F(x)=x\)，则为Lebesgue测度。

从外测度到Lebesgue-Stieltjes测度

令\(X=\mathbb{R}\)，令\(\mathcal{C}\)是由左开右闭区间\((a,b]\)构成的集合系 (其实就是半环)。\(\alpha(x)\)是一个单调递增的右连续函数 (注：这个右连续其实跟左开右闭区间是有一种默契的。 比如，若右边也是开，那么右连续的函数，跳开的地方就很难精准的测量了)；于是\(\alpha\)满足：\(x<y \Rightarrow \alpha(x)≤\alpha(y)，\lim\limits_{z→x^+}\alpha(z)=\alpha(x)\)。 这里并不要求\(\alpha\)严格单调递增。

定义集合映射：\(l((a,b)])=\alpha(b)-\alpha(a)\)。根据通用的外测度构造方法，设定外测度为 \[m^\ast(E)=\inf\biggl\{\sum_{i=1}^∞ l(A_i):A_i ∈ \mathcal{C}，E\subset \bigcup_{i=1}^∞ A_i\biggl\}\]

由Caratheodory's定理可知，\(m^\ast\)定义在\(m^\ast\)可测集上是一个测度。注意到若\(K=(a,b]，L=(b,c]，K\cup L =(a,c]\)，且\(l(K)+l(L)=[\alpha(b)-\alpha(a)]+[\alpha(c)-\alpha(b)]=\alpha(c)-\alpha(a)=l(K\cup L)\)

定理：任一\(\mathbb R\)上Borel-\(\sigma\)-代数中的集合都是\(m^\ast\)可测的。