测度论3.5之内侧度

内测度

有外测度，那有没有内测度 (inner measure)呢？还真有，但是在测度的构造中，内测度不是必须的，这边简单介绍一下。外测度试图从集合的外面向内逼近，而内测度则是从集合的里面向外逼近。

定义：内测度是一个对某个集合\(X\)的所有子集有定义的一个函数\(\varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ],\) 满足下列条件:

• 空集: 空集的内测度为0。\(\varphi (\varnothing )=0\)
• 超加性：对两个交集为空的集合A和B，有\(\varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B).\)
• 集合降链的极限：对一个集合序列\(A_{j}\)，若对于所有的\(j\)满足\(A_{j}\supseteq A_{j+1}\)，且\(\varphi (A_{1})<\infty\)，则\(\varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})\)
• 若集合\(A\)满足\(\varphi (A)=\infty\)，则对所有正数\(c\), 存在\(A\)的一个子集\(B\)，使得\(c\leq \varphi (B)<\infty\)

另外一个定义可以从外测度诱导出来： >定义2：令\(X\)为一集合，\(\mu^\ast\)是\(X\)上的一个外测度。定义内测度\(\mu_*(A):=\mu^\ast(A)-\mu^\ast(A^c)\)

内测度可以从测度中构造出来： >定义3：令\((X,\mathcal{M},\mu)\)为一测度空间, 定义内侧度\(\mu_*(E):=\sup\{\mu(S):S\in\mathcal{A}，S\subset E\}\)

还有以下定理 >定理：令\(\mu\)是\(\mathbb{R}^n\)上的 Lebesgue 测度，\(\mu_*(A)=\mu^\ast(A)\)当且仅当\(A\)为\(\mu\)-可测。