测度论2之定义与简单性质

测度论2之定义与简单性质

总述

这一章介绍测度的定义跟测度的简单性质,最后给出一个俯瞰的视角,勾勒出测度构造的主线。但是具体证明会在后面章节展开。

先在直觉层面介绍一下,测度论试图建立一般测量所需要的广义且底层的逻辑。一个测度可以是长度、面积、体积、概率,等等——它们的共同点就是给一个集合赋予一个数值。比如一条线段就是一个由点构成的集合,而长度就是给这个点集赋值一个实数 (这条线段长度是5)。这个实数不是随便赋值的,它要满足一些最基本的公理:比如两条线段不相交,那么他们的长度是可以相加的;再比如一个集合为空,那么长度应该为零,等等。

人们自然的就会问:给定一个集合,我们能不能找到这么一个“测度”,能够合理的给集合中所有的子集都赋上一个值,同时也满足我们所需的测量的最基本的公理呢?

对于有限集或者可数集,我们确实能找到这样的测度;但是对于不可数集,我们却找不到这样的测度(如果我们接受选择公理,我们总能构造出一些集合,无论我们给这些集合赋什么值都会不满足测度公理要求的条件)。

既然大多数情况下(不可数集),我们没法找到一个测度能够合理的给集合中的每一个子集赋值,我们就退而求其次,问:”我们可以对哪些(不是全部)子集合理的赋值呢“。我们当然希望可以被测度赋值的子集越多越好————于是我们从一些子集开始,在测度依然可以合理赋值的条件下,逐步拓展、加入更多的子集;通常这些子集的集合体就会最终拓展成一个\(\sigma\)-代数。

测度的定义

测度:令\(X\)为一集合,\(\mathcal{A}\)是由\(X\)子集构成的\(\sigma\)-代数,在\((X,\mathcal{A})\)上的测度(measure)是一个映射\(\mu:\mathcal{A}\rightarrow [0,+\infty]\),满足:

  1. \(\mu(\emptyset)=0\)
  2. \(A_i\in\mathcal{A},i=1,2,\dotsb\)两两不相交,那么:\(\mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_i)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(A_i)\)

注:性质(2)也被称为可列可加性(countable additivity);若(2)中的序列为有限的\(n\)个,那么就称为有限可加 (finitely additive)。有限可加未必可列可加

从而三元组\((X,\mathcal{A},\mu)\)也被称为测度空间 (measure space)。

性质

  • \(A,B\in \mathcal{A},A\subset B\),那么\(\mu(A)<\mu(B)\)
  • \(A_i\in\mathcal{A},A=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\),那么\(\mu(A)\leq \mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i)\)
  • \(A_i\in\mathcal{A},A_i\nearrow A\),那么\(\mu(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)\)
  • \(A_i\in\mathcal{A},A_i\searrow A\),且\(\mu(A_1)<\infty\),那么\(\mu(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)\)

测度的有限性

  1. 称测度\(\mu\)为有限测度 (finite measure), 若\(\mu(x)<\infty\)。若\(\mu\)是有限测度,那么\((X,\mathcal{A},\mu)\)被称为有限测度空间
  2. 测度\(\mu\)\(\sigma\)-有限,若存在集合\(E_i\in \mathcal{A},i=1,2,\dotsb\), 满足\(\forall i,\mu(E_i)<\infty,X=\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i\)。若\(\mu\)\(\sigma\)-有限,则称为\(\sigma\)-有限测度空间。相较于有限测度宽松,只要求每个事件有限。
  3. \((X,\mathcal{A},\mu)\)\(\sigma\)-有限测度空间,若\(F_n=\bigcup\limits_{i=1}^n E_i\),则\(\forall n,F_n<\infty\),且\(F_n\nearrow X\)。所以不失一般性,我们可以令上文定义中的\(E_i\)为递增集合 (\(E_i \nearrow\))

测度空间的完备性

零测集:令\((X,\mathcal{A},\mu)\)为一测度空间,子集\(A\subset X\)被称为零测集 (null set) 如果存在集合\(B\in\mathcal{A},A\subset B,且\mu(B)=0\)。 >注:在前面的定义中,我们并不要求\(A\in\mathcal{A}\)

完备性: >完备测度空间:若\(\mathcal{A}\)包含所有的零测集,那么\((X,\mathcal{A},\mu)\)为完备测度空间 (complete measure space).

\(\mathcal{A}\)的完备化 (completion) 是最小的\(\sigma\)-代数\(\mathcal{\overline{A}}\supset \mathcal{A}\),而\((X,\mathcal{\overline{A}},\mu)\)是完备的。有时候我们仅仅说 \(\mu\)是完备的,或者\(\mathcal{A}\)是完备的——它们都指\((X,\mathcal{A},\mu)\)是完备的。

概率与测度

概率(probability)或者有时候称为概率测度(probability measure),被定义为一个测度,满足\(\mu(X)=1\)。在概率论的语境中,我们通常会写\((\Omega,\mathcal{F},P)\), 其中\(\mathcal{F}\)被称为是\(\sigma\)-域 (\(\sigma\)-field), 这个跟\(\sigma\)-代数是一回事儿。

补充两个测度的定理

补充两个定理,在泛函分析跟概率论的时候会被用到。

定理:令\((X,\mathcal{A})\)为一可测空间,\(\mu\)是一个非负的集合映射,有限可加,且\(\mu(\emptyset)=0\)。如果\(A_i\nearrow,A_i\in\mathcal{A}\),那么\(\mu(\cup_iA_i)=\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\mu(A_i)\)\(\mu\)是一个测度。

另一个角度来看, >定理:令\((X,\mathcal{A})\)为一可测空间,\(\mu\)是一个非负的集合映射,有限可加,且\(\mu(\emptyset)=0,\mu(X)<\infty\)。如果\(A_i\searrow\emptyset,A_i\in\mathcal{A}\),那么\(\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\mu(A_i)=0\)\(\mu\)是一个测度。

测度构造的主线-粗线条

在这里我想列出(不证明)实数上Lebesgue测度的构造主线,力求列出最自然、跳跃最小的那条线。

\(\sigma\)-全:\(X\)上的集合系\(\Epsilon\)被称为是\(\sigma\)-全的(\(\sigma\)-total),如果存在某个序列\(E_1,E_2,\dotsb\in\Epsilon,\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n=X\)。 注:\(\sigma\)-有限就自带了\(\sigma\)-全

粗线条如下:

测度构造粗线条

测度构造粗线条

笔者画了下图以示各个测度与可测空间之间的关系:

测度与可测空间之间的关系

测度与可测空间之间的关系

此外还有更细的细条内容,可见测度构造的主线 - 细线条