测度论0之集合重新认识

Sep 14, 2020 · 测度论  ·
分享到:

聚点（极限点）：设X是数集，实数aa满足，∀δ>0\forall \delta>0，满足去心邻域U∘(a,δ)∩X≠∅U^\circ(a,\delta)\cap X \neq \emptyset，则称aa为XX的聚点（极限点）。

等价描述为：如果点aa的任何邻域 U∘(a,δ)={x∣0<∣x−a∣<δ}U^\circ(a,\delta)=\{x|0<|x-a|<\delta\} 都含有X中无穷多个点，则称aa为XX的聚点（极限点）。

所有的内点都是聚点，聚点不需要在集合中，边界点也不需要在集合中。内点和孤立点都必须在集合中。

孤立点：在数集XX中，点xx称为拓扑空间子集SS的孤立点，如果 x∈Sx∈S，且存在xx的一个邻域 ，其中不含SS中除了xx的其他点。

在数集中所有的孤立点都是边界点，一般拓扑空间不一定时是。

内点聚点孤立点边界点

Figure 1: 内点聚点孤立点边界点

各种点之间关系

内核：设EE是RnR^n中的点集，由EE的所有内点组成的集合称为EE的内核，记为E∘E^\circ。

导集：设EE是RnR^n中的点集，由EE的所有聚点组成的集合称为EE的导集，记为E′E'。

闭包：设EE是RnR^n中的点集，称E∪E′E\cup E'为EE的闭包，记为E‾\overline{E}。

闭包点的定义非常接近聚点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在聚点的定义中，点xx的邻域必须包含“不是xx自身的”这个集合的点。因此，所有聚点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是聚点。不是聚点的闭包点就是孤点。也就是说，点xx是孤点，若它是SS的元素，且存在xx的邻域，该邻域中除了xx没有其他的点属于SS。

对给定的集合SS和点xx，xx是SS的闭包点，当且仅当xx属于SS，或xx是SS的聚点，即E‾=E∪E′\overline{E}= E\cup E'。

关于导集、内核、闭包有以下定理： >如果A⊂BA \subset B，则A∘⊂B∘，A′⊂B′，A‾⊂B‾A^\circ \subset B^\circ，A'\subset B'，\overline{A}\subset\overline{B}。即导集、内核、闭包的运算具有单调性。

设EE是RnR^n中的点集，如果导集E′⊂EE'\subset E，则EE为闭集。所有的极限点都在EE中可取。

数集中只有∅与Rn\emptyset 与 R^n既是开集也是闭集；有理数集、半开半闭区间既不是开集也不是闭集。

定理1.设EE是RnR^n中点集，则EE的导集E′E'与闭包E‾\overline{E}都是闭集。

定理2.闭集的补集是开集。开集的补集是闭集。

任意多个闭集的交集是闭集。 ClosedSetn为闭集，⋂n=1∞ClosedSetn为闭集ClosedSet_n为闭集，\bigcap_{n=1}^∞ ClosedSet_n为闭集 有限多个闭集的并集是闭集。 ClosedSetn为闭集，⋃n=1NClosedSetn为闭集ClosedSet_n为闭集，\bigcup_{n=1}^N ClosedSet_n为闭集

反例：无限多个闭集的并集是开集。

例：考虑一列闭区间Fn=[−nn+1,nn+1]，n=1,2,…F_n=[-\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}]，n=1,2,\dots。每个FnF_n是闭集，但是⋃n=1∞Fn=(−1,1)\bigcup_{n=1}^∞ F_n= (-1,1)为开集。

例: 我们认为每一个有理数点是闭集，那么所有有理数点组成的有理数集既不是开集也不是闭集，而是FσF_{\sigma}集。

如果EE中的每一个点都是内点，则EE是开集，即E⇔E∘E\Leftrightarrow E^\circ。

数集中只有∅与Rn\emptyset 与 R^n既是开集也是闭集；有理数集、半开半闭区间既不是开集也不是闭集。

任意多个开集的并集是开集。 OpenSetn为开集，⋃n=1∞OpenSetn为开集OpenSet_n为开集，\bigcup_{n=1}^∞ OpenSet_n为开集 有限多个开集的交集是开集。 OpenSetn为开集，⋂n=1NOpenSetn为开集OpenSet_n为开集，\bigcap_{n=1}^N OpenSet_n为开集

反例：无限多个开集的交集是闭集。

例：考虑一列开区间Gn=(−1n,1n)，n=1,2,…G_n=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})，n=1,2,\dots。每个GnG_n是开集，但是⋂n=1∞Gn={0}\bigcap_{n=1}^∞ G_n= \{0\}为闭集。

设EE是RnR^n中的点集，如果导集E⊂E′E\subset E'，则EE为自密集（和闭集定义正好相反）。如果E=E′E=E'，则EE为完备集（自密闭集是完备集）。

解释：孤立点和聚点的定义是对立的，也就是说自密集不含有孤立点。自密闭集是完备集，因此完备集就是不含孤立点的闭集。但是在一个闭集中，去点所有的孤立点，也不一定时完备集。因为有时候去点所有孤立点会诞生新的孤立点，如下例。

例：设E={0,1,1/2,1/3,… }E=\{0,1,1/2,1/3,\dots\}，显然这是个闭集。其聚点只有一个是{0}\{0\}，其他都是孤立点。但是去掉所有孤立点后，这个集合只剩下点{0}\{0\}，并不是完备集。

推广的有限覆盖定理：Heine-Borel有限覆盖定理

设FF是有界闭集⇔\Leftrightarrow{Gλ}λ∈I\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}是FF的任一开覆盖，则{Gλ}λ∈I\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}中必存在有限多个开集G1,G2,…,GmG_1,G_2,\dots,G_m同样覆盖了FF。

从开区间闭区间变成了开集闭集。

进一步推广（不需要有界闭集条件）：FF是RnR^n任一点集，{Gλ}λ∈I\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}是FF的任一开覆盖，则{Gλ}λ∈I\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}中必存在至多可列个开集G1,G2,…,GmG_1,G_2,\dots,G_m同样覆盖了FF。

去掉有界闭集限制，结论从有限个开集变成可列个开集。

设GG是直线上R1R^1上的开集，如果区间(α,β)⊂G(\alpha,\beta) \subset G，而且端点α,β\alpha,\beta不属于GG，那么称(α,β)(\alpha,\beta)为GG的一个构成区间。

例如：开集(0,1)∪(2,3)(0,1)\cup (2,3)的构成区间是(0,1)(0,1)和(2,3)(2,3) 。

开区间构造定理：R1R^1上任何非空有界开集都可表示成有限个或可列个互不相交的构成区间的并。

定理：设FF是非空有界闭集，则FF中必有一最大点和一最小点。

证明思路：有界→有上确界→上确界b邻域→b在导集中→导集⊂\subset闭集。

闭区间构造定理：设FF是R1R^1上的任一非空有界闭集，则FF是由一闭区间中去掉有限或者可列个开区间而成。这些开区间的端点还是属于FF。

直线R1R^1上的FF是任一非空有界完备集，则FF是由一闭区间中去点有限或可列个彼此没有公共端点且与原来闭区间也没有公共端点的开区间而组成，这些开区间的端点还是属于FF。

设f(x)f(x)是定义在E⊂RnE\subset R^n上的实值函数，x0∈Ex_0∈E。如果对任意的ε>0\varepsilon>0，存在δ>0\delta>0，使得当x∈E∩B(x0,δ)x ∈ E\cap B(x_0,\delta)时有： ∣f(x)−f(x0)∣<ε，|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon， 则称f(x)在x0f(x)在x_0点处连续。x0x_0是ff的一个连续点。（在x∉E′x \notin E'的情形，即x0x_0是EE的孤立点的时候，f(x)f(x)自然在x=x0x=x_0处连续）。若EE中任一点皆为ff的连续点，则称f(x)f(x)在E上连续。我们记E上的连续函数之全体为C(E)C(E)。

我们先来看孤立点的定义：

集合SS的一个点xx，如果存在xx的一个邻域U(x,δ)U(x,δ)，除了点xx以外，U(x,δ)U(x,δ)不包含SS中的其他点，则称点xx为孤点或孤立点。

从图像上来看，函数在孤立点处连续这个结论很难理解。

但是从连续函数的定义和孤立点的定义上进行分析，这个结论却很明显：

x0∈Ex_0∈E是EE上的孤立点时，则存在一个δ>0，E∩B(x0,δ)={x0}\delta>0，E\cap B(x_0,\delta)=\{x_0\}。故任意ε>0\varepsilon>0，都有x∈E∩B(x0,δ)x ∈E\cap B(x_0,\delta)，使得∣f(x)−f(x0)∣=∣f(x0)−f(x0)∣=0<ε|f(x)-f(x_0)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0<\varepsilon.这说明函数在孤立点x0x_0处连续。

闭集与开集是RnR^n中最基本的集合。但是在RnR^n中有很多点集既不是开集也不是闭集。

FσF_{\sigma}与GδG_{\delta}集：若E⊂RnE\subset R^n是可数个闭集的并则称EE为FσF_{\sigma}（型）集。若E⊂RnE\subset R^n是可数个开集的交则称EE为GδG_{\delta}（型）集。

由定义可知FσF_{\sigma}集的补集是GδG_\delta集，GδG_\delta集的补集是FσF_{\sigma}集。

例如：每一个有理数点{rk}\{r_k\}是闭集，RnR^n中的全体有理数为 ⋃k=1∞{rk}\bigcup_{k=1}^∞\{r_k\} 为可数个闭集的并，即FσF_{\sigma}集。

由RnR^n中一切开集构成的开集族所生成的σ\sigma代数称为Borel−σ−Borel- \sigma-代数，记为B\mathcal{B}。B\mathcal{B}中的元称为Borel集。

显然，RnR^n中的闭集，开集，FσF_{\sigma}与GδG_{\delta}集皆为Borel集；任一Borel集的补集也是Borel集；Borel集的并、交、上下极限集皆为Borel集。可数个FσF_{\sigma}集的交集（FσδF_{\sigma\delta}）是Borel集。

博雷尔集是指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次并运算、交运算和（或）差运算得到的一个集合。

我们研究的集合基本都是Borel集。

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。首先从区间[0,1][0,1]中去掉中间的三分之一（13,23\frac {1}{3},{\frac {2}{3}}），留下两条线段：[0,13]∪[23,1][0,{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},1]。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段[0,19]∪[29,13]∪[23,79]∪[89,1][0,{\frac {1}{9}}]\cup [{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}]\cup [{\frac {8}{9}},1]。把这个过程一直进行下去，其中第nn个集合为：

Cn−13∪(23+Cn−13).{\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right). 康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0,1][0,1]中的点组成。

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

Cantor_set_in_seven_iterations

Figure 2: Cantor_set_in_seven_iterations

Cantor_set_in_seven_iterations

康托集具有以下直观的性质：

  1. 第n次，从集合[0,1][0,1]中会去掉2n−12^{n-1}个长度为13n\frac{1}{3^n}的开区间，余下的每个闭区间长度是13n\frac{1}{3^n}，共有2n2^n个。
  2. 无论去掉开区间的过程进行多少次，康托尔集的点必属于每次去掉开区间后留下来的某个闭区间。
  3. 从[0,1][0,1]中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于康托尔集。

此外，康托尔集还有以下结论：

  • Cantor集的Lebesgue测度是0
  • Cantor集是非空有界闭集
  • Cantor集是完备集
  • Cantor集是无处稠密集（疏朗集）
  • Cantor集是不可数集，基数是ℵ1\aleph_1

设A1,A2,…,An,…A_1,A_2,\dots,A_n,\dots是一列集合，由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体组成的集称为这一集列的上限集。记作lim⁡n→∞‾An\overline{\lim\limits_{n→\infty}}A_n lim⁡n→∞‾An={x∣存在无穷多个An，使x∈An}.\overline{\lim\limits_{n→\infty}}A_n=\{x|存在无穷多个A_n，使x ∈ A_n\}.

对于集列A1,A2,…,An,…A_1,A_2,\dots,A_n,\dots，那种除了有限个集合外，属于集列中其余每个集的元素全体组成的集称为下限集。可以理解为不含有此元素的集合有有限个。记作lim⁡‾n→∞An\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→\infty}A_n lim⁡‾n→∞An={x∣存在N(x),当n>N(x)，x∈An}.\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→\infty}A_n=\{x|存在N(x),当n>N(x)，x ∈ A_n\}.

显然： ⋂n=1∞An⊂lim⁡‾n→∞An⊂lim⁡n→∞‾An⊂⋃n=1∞An\bigcap\limits_{n=1}^∞ A_n\subset\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→\infty}A_n\subset\overline{\lim\limits_{n→\infty}}A_n\subset\bigcup\limits_{n=1}^∞ A_n

上极限，包含它的有无限个（不包含它的也可以有无限个）即可能同时存在无限个集合包含它并且无限个集合不包含它∞=∞+∞∞=∞+∞；下极限，不包含它的有有限个，必然是包含它的集合有无限个∞=∞−N∞=∞-N。

定理：上极限lim⁡n→∞‾An=⋂n=1∞⋃m=n∞Am\overline{\lim\limits_{n→∞}}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^∞\bigcup\limits_{m=n}^∞ A_m

下极限：lim⁡‾n→∞An=⋃n=1∞⋂m=n∞Am\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→∞} A_n = \bigcup\limits_{n=1}^∞\bigcap\limits_{m=n}^∞ A_m

如果集列{An}\{A_n\}的上下极限相等，则称集列{An}\{A_n\}收敛，并称A=lim⁡n→∞‾An=lim⁡‾n→∞AnA=\overline{\lim\limits_{n→∞}}A_n=\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→∞} A_n是集列{An}\{A_n\}的极限，记为A=lim⁡n→∞AnA=\lim\limits_{n→∞}A_n。

集列的上下极限

Figure 3: 集列的上下极限

知乎上的一种理解

原图来源

定理：单调集列必收敛。如果是单调增加序列则： lim⁡n→∞An=⋃n=1∞An\lim\limits_{n→∞}A_n=\bigcup\limits_{n=1}^∞ A_n 如果是单调减少序列则： lim⁡n→∞An=⋂n=1∞An\lim\limits_{n→∞}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^∞ A_n