测度论0之集合重新认识 Sep 14, 2020 · 测度论 · 分享到: 重新认识集合 先导概念 点 导集内核闭包 闭集 闭集的运算 开集 开集的运算 完备集 Heine-Borel有限覆盖定理 直线上开集、闭集与完备集的构造 非空有界开集（开集的构造是基础） 非空有界闭集 完备集构造 从测度论的角度定义连续函数 函数在孤立点处连续 Borel集 \(F_{\sigma}\)与\(G_{\delta}\)集 Borel集定义 Cantor集 三分康托集 集列的极限 先导概念 点 聚点（极限点）：设X是数集，实数\(a\)满足，\(\forall \delta>0\)，满足去心邻域\(U^\circ(a,\delta)\cap X \neq \emptyset\)，则称\(a\)为\(X\)的聚点（极限点）。 等价描述为：如果点\(a\)的任何邻域 \[U^\circ(a,\delta)=\{x|0<|x-a|<\delta\}\] 都含有X中无穷多个点，则称\(a\)为\(X\)的聚点（极限点）。 所有的内点都是聚点，聚点不需要在集合中，边界点也不需要在集合中。内点和孤立点都必须在集合中。 孤立点：在数集\(X\)中，点\(x\)称为拓扑空间子集\(S\)的孤立点，如果 \(x∈S\)，且存在\(x\)的一个邻域 ，其中不含\(S\)中除了\(x\)的其他点。 在数集中所有的孤立点都是边界点，一般拓扑空间不一定时是。 各种点之间关系 导集内核闭包 内核：设\(E\)是\(R^n\)中的点集，由\(E\)的所有内点组成的集合称为\(E\)的内核，记为\(E^\circ\)。 导集：设\(E\)是\(R^n\)中的点集，由\(E\)的所有聚点组成的集合称为\(E\)的导集，记为\(E'\)。 闭包：设\(E\)是\(R^n\)中的点集，称\(E\cup E'\)为\(E\)的闭包，记为\(\overline{E}\)。 闭包点的定义非常接近聚点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在聚点的定义中，点\(x\)的邻域必须包含“不是\(x\)自身的”这个集合的点。因此，所有聚点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是聚点。不是聚点的闭包点就是孤点。也就是说，点\(x\)是孤点，若它是\(S\)的元素，且存在\(x\)的邻域，该邻域中除了\(x\)没有其他的点属于\(S\)。 对给定的集合\(S\)和点\(x\)，\(x\)是\(S\)的闭包点，当且仅当\(x\)属于\(S\)，或\(x\)是\(S\)的聚点，即\(\overline{E}= E\cup E'\)。 关于导集、内核、闭包有以下定理： >如果\(A \subset B\)，则\(A^\circ \subset B^\circ，A'\subset B'，\overline{A}\subset\overline{B}\)。即导集、内核、闭包的运算具有单调性。 闭集 设\(E\)是\(R^n\)中的点集，如果导集\(E'\subset E\)，则\(E\)为闭集。所有的极限点都在\(E\)中可取。 数集中只有\(\emptyset 与 R^n\)既是开集也是闭集；有理数集、半开半闭区间既不是开集也不是闭集。 定理1.设\(E\)是\(R^n\)中点集，则\(E\)的导集\(E'\)与闭包\(\overline{E}\)都是闭集。 定理2.闭集的补集是开集。开集的补集是闭集。 闭集的运算 任意多个闭集的交集是闭集。 \[ClosedSet_n为闭集，\bigcap_{n=1}^∞ ClosedSet_n为闭集\] 有限多个闭集的并集是闭集。 \[ClosedSet_n为闭集，\bigcup_{n=1}^N ClosedSet_n为闭集\] 反例：无限多个闭集的并集是开集。 例：考虑一列闭区间\(F_n=[-\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}]，n=1,2,\dots\)。每个\(F_n\)是闭集，但是\(\bigcup_{n=1}^∞ F_n= (-1,1)\)为开集。 例: 我们认为每一个有理数点是闭集，那么所有有理数点组成的有理数集既不是开集也不是闭集，而是\(F_{\sigma}\)集。 开集 如果\(E\)中的每一个点都是内点，则\(E\)是开集，即\(E\Leftrightarrow E^\circ\)。 数集中只有\(\emptyset 与 R^n\)既是开集也是闭集；有理数集、半开半闭区间既不是开集也不是闭集。 开集的运算 任意多个开集的并集是开集。 \[OpenSet_n为开集，\bigcup_{n=1}^∞ OpenSet_n为开集\] 有限多个开集的交集是开集。 \[OpenSet_n为开集，\bigcap_{n=1}^N OpenSet_n为开集\] 反例：无限多个开集的交集是闭集。 例：考虑一列开区间\(G_n=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})，n=1,2,\dots\)。每个\(G_n\)是开集，但是\(\bigcap_{n=1}^∞ G_n= \{0\}\)为闭集。 完备集 设\(E\)是\(R^n\)中的点集，如果导集\(E\subset E'\)，则\(E\)为自密集（和闭集定义正好相反）。如果\(E=E'\)，则\(E\)为完备集（自密闭集是完备集）。 解释：孤立点和聚点的定义是对立的，也就是说自密集不含有孤立点。自密闭集是完备集，因此完备集就是不含孤立点的闭集。但是在一个闭集中，去点所有的孤立点，也不一定时完备集。因为有时候去点所有孤立点会诞生新的孤立点，如下例。 例：设\(E=\{0,1,1/2,1/3,\dots\}\)，显然这是个闭集。其聚点只有一个是\(\{0\}\)，其他都是孤立点。但是去掉所有孤立点后，这个集合只剩下点\(\{0\}\)，并不是完备集。 Heine-Borel有限覆盖定理 推广的有限覆盖定理：Heine-Borel有限覆盖定理 设\(F\)是有界闭集\(\Leftrightarrow\)\(\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}\)是\(F\)的任一开覆盖，则\(\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}\)中必存在有限多个开集\(G_1,G_2,\dots,G_m\)同样覆盖了\(F\)。 从开区间闭区间变成了开集闭集。 进一步推广（不需要有界闭集条件）：\(F\)是\(R^n\)任一点集，\(\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}\)是\(F\)的任一开覆盖，则\(\{G_\lambda\}_{\lambda ∈ I}\)中必存在至多可列个开集\(G_1,G_2,\dots,G_m\)同样覆盖了\(F\)。 去掉有界闭集限制，结论从有限个开集变成可列个开集。 直线上开集、闭集与完备集的构造 非空有界开集（开集的构造是基础） 设\(G\)是直线上\(R^1\)上的开集，如果区间\((\alpha,\beta) \subset G\)，而且端点\(\alpha,\beta\)不属于\(G\)，那么称\((\alpha,\beta)\)为\(G\)的一个构成区间。 例如：开集\((0,1)\cup (2,3)\)的构成区间是\((0,1)\)和\((2,3)\) 。 开区间构造定理：\(R^1\)上任何非空有界开集都可表示成有限个或可列个互不相交的构成区间的并。 非空有界闭集 定理：设\(F\)是非空有界闭集，则\(F\)中必有一最大点和一最小点。 证明思路：有界→有上确界→上确界b邻域→b在导集中→导集\(\subset\)闭集。 闭区间构造定理：设\(F\)是\(R^1\)上的任一非空有界闭集，则\(F\)是由一闭区间中去掉有限或者可列个开区间而成。这些开区间的端点还是属于\(F\)。 完备集构造 直线\(R^1\)上的\(F\)是任一非空有界完备集，则\(F\)是由一闭区间中去点有限或可列个彼此没有公共端点且与原来闭区间也没有公共端点的开区间而组成，这些开区间的端点还是属于\(F\)。 从测度论的角度定义连续函数 设\(f(x)\)是定义在\(E\subset R^n\)上的实值函数，\(x_0∈E\)。如果对任意的\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(x ∈ E\cap B(x_0,\delta)\)时有： \[|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon，\] 则称\(f(x)在x_0\)点处连续。\(x_0\)是\(f\)的一个连续点。（在\(x \notin E'\)的情形，即\(x_0\)是\(E\)的孤立点的时候，\(f(x)\)自然在\(x=x_0\)处连续）。若\(E\)中任一点皆为\(f\)的连续点，则称\(f(x)\)在E上连续。我们记E上的连续函数之全体为\(C(E)\)。 函数在孤立点处连续 我们先来看孤立点的定义： 集合\(S\)的一个点\(x\)，如果存在\(x\)的一个邻域\(U(x,δ)\)，除了点\(x\)以外，\(U(x,δ)\)不包含\(S\)中的其他点，则称点\(x\)为孤点或孤立点。 从图像上来看，函数在孤立点处连续这个结论很难理解。 但是从连续函数的定义和孤立点的定义上进行分析，这个结论却很明显： \(x_0∈E\)是\(E\)上的孤立点时，则存在一个\(\delta>0，E\cap B(x_0,\delta)=\{x_0\}\)。故任意\(\varepsilon>0\)，都有\(x ∈E\cap B(x_0,\delta)\)，使得\(|f(x)-f(x_0)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0<\varepsilon\).这说明函数在孤立点\(x_0\)处连续。 Borel集 闭集与开集是\(R^n\)中最基本的集合。但是在\(R^n\)中有很多点集既不是开集也不是闭集。 \(F_{\sigma}\)与\(G_{\delta}\)集 \(F_{\sigma}\)与\(G_{\delta}\)集：若\(E\subset R^n\)是可数个闭集的并则称\(E\)为\(F_{\sigma}\)（型）集。若\(E\subset R^n\)是可数个开集的交则称\(E\)为\(G_{\delta}\)（型）集。 由定义可知\(F_{\sigma}\)集的补集是\(G_\delta\)集，\(G_\delta\)集的补集是\(F_{\sigma}\)集。 例如：每一个有理数点\(\{r_k\}\)是闭集，\(R^n\)中的全体有理数为 \[\bigcup_{k=1}^∞\{r_k\}\] 为可数个闭集的并，即\(F_{\sigma}\)集。 Borel集定义 由\(R^n\)中一切开集构成的开集族所生成的\(\sigma\)代数称为\(Borel- \sigma-\)代数，记为\(\mathcal{B}\)。\(\mathcal{B}\)中的元称为Borel集。 显然，\(R^n\)中的闭集，开集，\(F_{\sigma}\)与\(G_{\delta}\)集皆为Borel集；任一Borel集的补集也是Borel集；Borel集的并、交、上下极限集皆为Borel集。可数个\(F_{\sigma}\)集的交集（\(F_{\sigma\delta}\)）是Borel集。 博雷尔集是指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次并运算、交运算和（或）差运算得到的一个集合。 我们研究的集合基本都是Borel集。 Cantor集 三分康托集 康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。首先从区间\([0,1]\)中去掉中间的三分之一（\(\frac {1}{3},{\frac {2}{3}}\)），留下两条线段：\([0,{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},1]\)。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段\([0,{\frac {1}{9}}]\cup [{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}]\cup [{\frac {8}{9}},1]\)。把这个过程一直进行下去，其中第\(n\)个集合为： \[{\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right).\] 康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间\([0,1]\)中的点组成。 下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。 Cantor_set_in_seven_iterations 康托集具有以下直观的性质： 第n次，从集合\([0,1]\)中会去掉\(2^{n-1}\)个长度为\(\frac{1}{3^n}\)的开区间，余下的每个闭区间长度是\(\frac{1}{3^n}\)，共有\(2^n\)个。 无论去掉开区间的过程进行多少次，康托尔集的点必属于每次去掉开区间后留下来的某个闭区间。 从\([0,1]\)中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于康托尔集。 此外，康托尔集还有以下结论： Cantor集的Lebesgue测度是0 Cantor集是非空有界闭集 Cantor集是完备集 Cantor集是无处稠密集（疏朗集） Cantor集是不可数集，基数是\(\aleph_1\) 集列的极限 设\(A_1,A_2,\dots,A_n,\dots\)是一列集合，由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体组成的集称为这一集列的上限集。记作\(\overline{\lim\limits_{n→\infty}}A_n\) \[\overline{\lim\limits_{n→\infty}}A_n=\{x|存在无穷多个A_n，使x ∈ A_n\}.\] 对于集列\(A_1,A_2,\dots,A_n,\dots\)，那种除了有限个集合外，属于集列中其余每个集的元素全体组成的集称为下限集。可以理解为不含有此元素的集合有有限个。记作\(\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→\infty}A_n\) \[\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→\infty}A_n=\{x|存在N(x),当n>N(x)，x ∈ A_n\}.\] 显然： \[\bigcap\limits_{n=1}^∞ A_n\subset\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→\infty}A_n\subset\overline{\lim\limits_{n→\infty}}A_n\subset\bigcup\limits_{n=1}^∞ A_n\] 上极限，包含它的有无限个（不包含它的也可以有无限个）即可能同时存在无限个集合包含它并且无限个集合不包含它\(∞=∞+∞\)；下极限，不包含它的有有限个，必然是包含它的集合有无限个\(∞=∞-N\)。 定理：上极限\(\overline{\lim\limits_{n→∞}}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^∞\bigcup\limits_{m=n}^∞ A_m\) 下极限：\(\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→∞} A_n = \bigcup\limits_{n=1}^∞\bigcap\limits_{m=n}^∞ A_m\) 如果集列\(\{A_n\}\)的上下极限相等，则称集列\(\{A_n\}\)收敛，并称\(A=\overline{\lim\limits_{n→∞}}A_n=\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n→∞} A_n\)是集列\(\{A_n\}\)的极限，记为\(A=\lim\limits_{n→∞}A_n\)。 知乎上的一种理解 原图来源 定理：单调集列必收敛。如果是单调增加序列则： \[\lim\limits_{n→∞}A_n=\bigcup\limits_{n=1}^∞ A_n\] 如果是单调减少序列则： \[\lim\limits_{n→∞}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^∞ A_n\]