测度论-Borel集的作用？意义？它为什么重要？

Borel 集的作用？意义？它为什么重要？

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我来从概率论的角度说一下Borel集的意义吧。

首先回忆一下概率空间的定义，概率空间是一个三元组，样本空间、事件的集合、概率。

我们的概率函数是定义在事件上的，而不是定义在样本空间上的。

概率的定义必须满足几个性质，也就是Kolmogorov公理：

Kolmogorov公理

当样本空间离散的时候，概率非常容易定义，只要分配给每一个结果一个概率值，其和等于1就好了。这个时候我们可以定义概率的所有事件的集合就是样本空间的全部子集，没毛病。

但是当样本空间不是离散的，比如说是实轴R，那么概率的定义就比较麻烦了。我们发现，并不是R上的所有子集（事件）都可以被定义上概率，比如：

勒贝格不可测集例6

勒贝格不可测集

看，我们发现，如果严格按照概率函数的定义，并不是R上的所有子集（事件）都能被定义概率的。那么我们能不能把那些能定义概率的集合（事件）挑出来只对他们进行研究呢？

当然可以。但是挑出来的这些事件的集合必须有一些要求，比如：

空集必须在这个事件的集合里面 如果我们关心某个事件A，那么「事件A不发生」，也就是A的补集也必须在这个事件的集合里面 如果我们关心一系列事件，那么这些事件同时发生、至少有一个发生的概率也必须能被研究。 这就诞生了所谓的σ-代数的概念。

那么我们怎么在R上定义概率呢？这个时候我们需要引入分布函数了：

分布函数

有了分布函数，我们可以先在区间上定义概率：

定义概率

然后通过所谓的内测度外测度定义出一些集合的概率函数。R上所有的区间所生成的最小σ-代数就是Borel σ-代数，Borel σ-代数的元素叫做Borel集。我们发现，刚好所有的Borel集都是可以被定义上概率的，而且是最符合我们直觉的（除非特意构造，碰到的多数集合都是Borel集），所以我们就干脆只研究Borel集的概率算了。

所以它为什么重要？因为通过它，我们排除了那些不好的集合，限制了我们讨论的范围，把我们的问题简单化了。