数学-切比雪夫相关

Mar 20, 2020 · 数学  ·
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切比雪夫相关概念

巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（俄语：Пафну́тий Льво́вич Чебышёв ，1821年5月26日－1894年12月8日），俄罗斯数学家。

概率论

切比雪夫不等式

在概率论中，切比雪夫不等式（英语：Chebyshev's Inequality）显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均切比雪夫不等式，对任何分布形状的数据都适用。可表示为：对于任意\(b>0\)，有： \[P(|X-E(X)|\geqslant b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}\]

数值分析

切比雪夫多项式

切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号\(T_n\)表示，第二类切比雪夫多项式用\(U_n\)表示。切比雪夫多项式\(T_n\)或\(U_n\)代表n阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

第一类Chebyshev多项式：由递推式 \[T_0(x) = 1,\\ \tag{2.1} T_1(x) = x, \\ T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \\\] 所确立的一系列多项式称为第一类Chebyshev多项式.

第二类Chebyshev多项式：由递推式 \[U_0(x) = 1, \\ \tag{2.2} U_1(x) = 2x, \\ U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \\ \] 所确立的一系列多项式称为第二类Chebyshev多项式.

切比雪夫节点

对于一个插值区间\([a, b]\) 如果要在这个插值区间上选取\(n\)个点作为插值基点，使得上面的最大误差最小，则基点的选法如下: \[x_i=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}\cos\frac{(2i-1)\pi}{2n}\\ (i=1,2,\dotsb,n)\] 这些节点称为切比雪夫（插值）节点。

切比雪夫总和不等式

用以比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小：

若\(a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\)且\(b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}\)，则： \[n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}\right)\geq n\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n+1-k}.\] 上式也可以写作 \[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum_{k=1}^{n}b_{k}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n+1-k}\] 它是由排序不等式而来。

切比雪夫方程

切比雪夫方程（英语：Chebyshev equation）是指二阶线性常微分方程: \[(1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0\] 其中\(p\)为一实常数。方程的解为幂级数: \[y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\] 其中系数可通过以下递推关系式计算： \[a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.\] 级数在\(x\in [-1,1]\)上收敛（对递推关系式应用比值审敛法可得）。递推关系的初值a0与a1可为任意值，由此可得微分方程不同的特解。

度量几何

切比雪夫距离

数学上，切比雪夫距离（Chebyshev distance）或是\(L_∞\)度量是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义为其各座标数值差的最大值。以\((x_1,y_1)和(x_2,y_2)\)二点为例，其切比雪夫距离为\(max(|x_2-x_1|,|y_2-y_1|)\)。

若将国际象棋棋盘放在二维直角座标系中，格子的边长定义为1，座标的x轴及y轴和棋盘方格平行，原点恰落在某一格的中心点，则王从一个位置走到其他位置需要的步数恰为二个位置的切比雪夫距离，因此切比雪夫距离也称为棋盘距离。

范数定义：若二个向量或二个点\(p\quad q\)，其座标分别为\(p_{i}\)及\(q_i\)，则两者之间的切比雪夫距离定义如下： \[D_{\rm {Chebyshev}}(p,q):=\max_{i}(|p_{i}-q_{i}|).\] 这也等于以下\(L_p\)度量的极值： \[\lim_{k\to \infty }{\bigg (}\sum_{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|^{k}{\bigg )}^{1/k},\] 因此切比雪夫距离也称为\(L_∞\)度量。

数论(质数相关)

切比雪夫定理

对于\(n>3\)，n和2n之间至少有一个素数。

切比雪夫函数

切比雪夫函数(Chebyshev function)重要的数论函数之一。它是切比雪夫为了证明素数定理而给出的。使函数\(Ψ(x)\)与对数函数建立了简单的联系，从而为证明素数定理和研究素数分布奠定了基础。

附录

棣莫弗定理

棣莫弗公式是一个关于复数和三角函数的公式，。其内容为对任意复数x和整数n，下列性质成立： \[(\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)\] 为了方便起见，我们常常将\(cos(x) + i sin(x)\)合并为另一个三角函数\(cis(x)\)，也就是说： \[\operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)\] 证明：欧拉公式。

此定理可用来求单位复数的\(n\)次方根。设\(|z|=1\)，表为 \[z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\] 若\(w^{n}=z\)，按照棣莫弗公式： \[w^{n}=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi =\cos \theta +i\sin \theta =z\] 于是得到 \[n\phi =\theta +2k\pi （其中k\in \mathbb{Z} )\] 也就是： \[\phi =\frac{\theta+2k\pi}{n}\] 当\(k\)取\(0,1,\ldots ,n-1\)，我们得到\(n\)个不同的根： \[w=\cos({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}})+i\sin({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}),k=0,1,\ldots ,n-1\]