数学分析-等幂求和公式

等幂求和公式

一阶求和公式

一阶求和公式就是我们熟知的高斯求和公式 \[ S_1(n) = 1+2+3+\dotsb+n=\frac{n(n+1)}{2} \]

二阶求和公式

\[ S_2(n) = 1^2+2^2+3^2+\dotsb+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

二阶求和公式在高中也学过，但当时使用的是猜测加数学归纳法，公式的推导过程不够直观。下面，我们用一个直观的构造法来推导二阶求和公式。

构造直到\(2n\)的平方和： \[ \begin{aligned} S_2(2n)&=1^2+2^2+3^2+\dotsb+n^2+(n+1)^2+\dotsb+(n+n)^2\\ &=\underbrace{1^2+2^2+3^2+\dotsb+n^2}_{S_2(n)}+(n^2+2n+1^2)+\dotsb+(n^2+2n\times n+n^2)\\ &=S_2(n)+n\times n^2 + 2n\underbrace{(1+2+3+\dotsb+n)}_{S_1(n)}+\underbrace{(1^2+2^2+\dotsb+n^2)}_{S_2(n)}\\ &=2S_2(n)+n^3+2n\times \frac{n(n+1)}{2}\\ &=2S_2(n)+2n^3+n^2 \dotsb(1)\\ \end{aligned} \] 另一个方面，我们可以将\(S_2(2n)\)根据奇偶性拆分： \[ \begin{aligned} S_2(2n)&=1^2+2^2+3^2+\dotsb+n^2+(n+1)^2+\dotsb+(n+n)^2\\ &=1^2+3^2+\dotsb+(2n-1)^2+2^2+4^2+\dotsb+(2n)^2\\ &=(2\times 1-1)^2+(2\times 2-1)^2+\dotsb+(2\times n-1)^2+4\underbrace{(1^2+2^2+\dotsb+n^2)}_{S_(n)}\\ &=(2^2\times 1^2 - 2\times 2\times 1 + 1^2)+(2^2\times 2^2 - 2\times 2\times 2 + 1^2)+\dotsb\\ &+(2^2\times n^2 - 2\times 2\times n + 1^2)+4S_2(n)\\ &=4\underbrace{(1^2+2^2+\dotsb+n^2)}_{S_2(n)}-4(1+2+\dotsb+n)+n+4S_2(n)\\ &=8S_2(n)-4\frac{n(n+1)}{2}+n=8S_2(n)-2n^2-n\dotsb(2) \end{aligned} \] 显然公式\((1)\)等于公式\((2)\)，因此有： \[ 2S_2(n)+2n^3+n^2=8S_2(n)-2n^2-n\\ \Rightarrow S_2(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

三阶求和公式

\[ S_3(n)=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{{2}} \] 三阶求和公式也需要一个构造，这个构造利用了对称性，比二阶求和公式好懂一些。 \[ S_3(n)=1^3 +2^3 +3^3 +\dotsb+n^3\\ S_3(n)=n^3+(n-1)^3+(n-2)^3+\dotsb+1^3 \] 两者相加有： \[ \begin{aligned} 2S_3(n)&=n^3+1^3+(n-1)^3+2^3+(n-2)^3+3^3+\dotsb+1^3+n^3\\ &根据立方和公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)有：\\ 2S_3(n)&=(n+1)(n^2-n+1)+[n+1]((n-1)^2-2(n-1)+2^2)\\ &+[n+1]((n-2)^2-3(n-2)+3^2)+\dotsb+[n+1](1^2-n+n^2)\\ &=[n+1](2\underbrace{(1^2+2^2+\dotsb+n^2)}_{S_2(n)}-(1\times n+2(n-1)+3(n-2)+\dotsb+n\times (n-(n-1)))\\ &=[n+1](2S_2(n)-n\underbrace{(1+2+\dotsb+n)}_{S_1(n)}+2\times 1+3\times 2+\dotsb+n\times(n-1))\\ &=[n+1](2S_2(n)-nS_1(n)+1^2+1+2^2+2+\dotsb+(n-1)^2+(n-1))\\ &=[n+1](2S_2(n)-nS_1(n)+(S_2(n)-n^2)+(S_1(n)-n))\\ &=[n+1](3S_2(n)-(n-1)S_1(n)-n^2-n)\\ &代入S_1(n),S_2(n)结果可得：\\ &=[n+1](\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}-\frac{(n-1)n(n+1)}{2}-n(n+1))\\ &={1\over 2}(n+1)^2[n(2n+1)-(n-1)n-2n]=\frac{1}{2}n^2(n+1)^2\\ \Rightarrow S_3(n)&=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 \end{aligned} \]

等幂求和公式推断

我们根据1~3阶的求和公式发现，\(m\)阶\(n\)个连续自然数的和是一个和\(n\)相关的\(m+1\)阶多项式(且没有0阶项)，因此可以猜测，\(m\)阶\(n\)个连续自然数和的形式为: \[ a_{m+1} n^{m+1}+a_{m} n^{m}+\dotsb+a_1 n^1 \] 这样我们可以先找出\(m+1\)个初始条件，然后以待定系数法求得求和公式。以2阶求和公式为例： \[ \begin{aligned} 1^2 = 1 &= 1^3 a_3+ 1^2 a_2 + 1^1 a_1 \\ 1^2 +2^2 = 5&= 2^3 a_3+ 2^2 a_2 + 2^1 a_1\\ 1^2 +2^2 + 3^2= 14&= 3^3 a_3+ 3^2 a_2 + 3^1 a_1 \end{aligned} \] 根据高斯消元法或者克莱姆法则可知： \[ \begin{cases} a_1=\frac{1}{3}\\ a_2=\frac{1}{2}\\ a_3=\frac{1}{6}\\ \end{cases} \] 即2阶求和公式为\(S_2(n)=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\)。

当然这只是通过推断得出的结论，没有直接的证明。下面直接给出等幂求和公式 \[ S_m(n)={1 \over {m+1}}\sum_{{i=0}}^{m}{m+1 \choose {i}}B_{i}(n+1)^{{m+1-i}}\tag{3} \] 其中\(B_i\)是伯努利数。关于伯努利数请参考维基百科https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E6%95%B0.