数学分析-三角函数与三角级数的正交性 Mar 4, 2020 · 数学分析 · 分享到: 三角函数与三角级数的正交性 三角恒等式——和差化积与积化和差 三角级数与三角函数系的正交性 应用——傅里叶级数展开 三角恒等式——和差化积与积化和差 积化和差 和差化积 \({\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}\) \({\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}\) \({\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}\) \({\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}\) \({\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}\) \({\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}\) \({\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}\) \({\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}\) 三角级数与三角函数系的正交性 定理1： 组成三角级数的函数系 \[1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsb, \sin nx, \cos nx\] 在区间\([-\pi , \pi]或[0, 2\pi]\)上正交，即其中任意两个不同函数之积在区间\([-\pi , \pi]或[0, 2\pi]\)积分为0. 证明： 可以用积化和差公式证明，\(\sin kx \cos nx={1 \over 2}[\sin (kx+nx)+\sin (kx-nx)]\)，其中\(k,n\)为整数，且\(k \neq n\)。 $$ \[ 由于对任意**非0**整数$n$，有$\sin nx, \cos nx$在区间$[-\pi , \pi]或[0, 2\pi]$积分为0，所以上式右侧积分为0，即 \] 0^{2}kx nx x = 0 \[ 同理可以证明 \] 0^{2}kx nx x = 0\ 0^{2}kx nx x = 0\ 0^{2}kx nx x = 0 \[ 需要指出的是三角函数系中相同函数的乘积在在区间$[-\pi , \pi]或[0, 2\pi]$积分不为0，即 \] 0^{2}nx nx x 0\ 0^{2}nx nx x 0\ $$ 我们从积化和差公式中也可以窥出原因，即出现了直流项。 应用——傅里叶级数展开 狄利克雷定理 (傅里叶级数): 设\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数，并满足狄利克雷条件： 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 在一个周期内只有有限个极限点； 则\(f(x)\)的傅里叶级数收敛，且有 \[ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx + b_n \sin nx)=\\ \begin{cases} f(x), x为连续点\\ \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}, x为间断点 \end{cases} \] 其中，\(a_n, b_n\)为\(f(x)的傅里叶系数\) 可以发现傅里叶级数比幂级数的条件要宽松很多，对可导没有要求。 另外，对奇函数，偶函数可以有对应的正弦级数和余弦级数。