数学分析-三角函数与三角级数的正交性

Mar 4, 2020 · 数学分析  ·
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积化和差 和差化积
sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}} sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)2{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}} sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2{\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}
cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}} cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
sin⁡αsin⁡β=−cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)2{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}} cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}

定理1： 组成三角级数的函数系 1,sin⁡x,cos⁡x,sin⁡2x,cos⁡2x,⋯ ,sin⁡nx,cos⁡nx1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsb, \sin nx, \cos nx 在区间[−π,π]或[0,2π][-\pi , \pi]或[0, 2\pi]上正交，即其中任意两个不同函数之积在区间[−π,π]或[0,2π][-\pi , \pi]或[0, 2\pi]积分为0.

证明：

可以用积化和差公式证明，sin⁡kxcos⁡nx=12[sin⁡(kx+nx)+sin⁡(kx−nx)]\sin kx \cos nx={1 \over 2}[\sin (kx+nx)+\sin (kx-nx)]，其中k,nk,n为整数，且k≠nk \neq n。 $$

\[ 由于对任意**非0**整数nn，有sin⁡nx,cos⁡nx\sin nx, \cos nx在区间[−π,π]或[0,2π][-\pi , \pi]或[0, 2\pi]积分为0，所以上式右侧积分为0，即 \] 0^{2}kx nx x = 0 同理可以证明 同理可以证明 0^{2}kx nx x = 0\ 0^{2}kx nx x = 0\ 0^{2}kx nx x = 0 \[ 需要指出的是三角函数系中相同函数的乘积在在区间[−π,π]或[0,2π][-\pi , \pi]或[0, 2\pi]积分不为0，即 \] 0^{2}nx nx x 0\ 0^{2}nx nx x 0\ $$ 我们从积化和差公式中也可以窥出原因，即出现了直流项。

狄利克雷定理 (傅里叶级数):

设f(x)f(x)是周期为2π2\pi的周期函数，并满足狄利克雷条件：

  1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
  2. 在一个周期内只有有限个极限点；

则f(x)f(x)的傅里叶级数收敛，且有 a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)={f(x),x为连续点f(x+)+f(x−)2,x为间断点 \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx + b_n \sin nx)=\\ \begin{cases} f(x), x为连续点\\ \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}, x为间断点 \end{cases} 其中，an,bna_n, b_n为f(x)的傅里叶系数f(x)的傅里叶系数

可以发现傅里叶级数比幂级数的条件要宽松很多，对可导没有要求。

另外，对奇函数，偶函数可以有对应的正弦级数和余弦级数。