数学分析之连续性

数学分析之连续性

设有一个\(f:\mathcal R^n→\mathcal R^m\)的映射。

点的连续性:\(f\)称为在\(x_0\in \mathcal R^n\)连续,若\(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\)\(s.t. \forall x\in \mathcal R^n\),若\(\Vert x-x_0\Vert<\delta\),则有\(\Vert f(x)-f(x_0)\Vert <\varepsilon\)

如果我们用开球(又称邻域)\(B(x_0;r)=\{x\in \mathcal{R^n} \big\vert \Vert x-x_0\Vert <r\}\),来描述连续性: >\(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0有f(B(x_0;\delta))\subset B(f(x_0);\varepsilon)\) ---------------------------------------- >映射的连续性:\(f:\mathcal R^n→\mathcal R^m\)称为连续映射,若\(\forall x_0 \in \mathcal R^n\)\(f\)\(x_0\)出连续。

连续与开集的关系

设开集为\(U\),若对于\(\forall U \underset{open}{\subset} \mathcal{R^m}\)

\(f\)连续\(\Rightarrow\)开集的原像是开集

考虑\(U\)的原像\(f^{-1}(U),\forall x_0\in f^{-1}(U),f(x_0)\in U\)

由于\(U\)是开集,对于其中的点\(f(x_0),\exist \varepsilon>0. s.t. B(f(x_0);\varepsilon)\subset U\)

又因为\(f\)\(x_0\)出连续,则\(\exist \delta>0\)使得\(f(B(x_0;\delta))\subset B(f(x_0);\varepsilon)\Rightarrow B(x_0;\delta)\subset f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))\subset f^{-1}(U)\)。对于\(U\)中每一点都成立,所以\(f^{-1}(U)\)\(\mathcal{R^n}\)中开集。

开集的原像是开集\(\Rightarrow f\)连续

\(\forall x_0 \in \mathcal{R^n}\),先证\(f\)在任一点\(x_0\)出连续。

\(\forall \varepsilon>0\),考虑\(B(f(x_0);\varepsilon)\),由于条件开集的原像为开集,开球的原像\(f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))\)也是开集,即\(x_0\in f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))且\exist\delta>0\),s.t. \(B(x_0;\delta)\subset f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))\Rightarrow f(B(x_0;\delta))\subset B(f(x_0);\varepsilon)\Rightarrow f\)\(x_0\)出连续。由于对任意\(x_0\)都成立,所以映射\(f\)连续。

总结:\(f:\mathcal{R^n}→\mathcal{R^m}\)连续映射\(\Leftrightarrow\)\(f\)下,开集的原像为开集。这样我们可以仅通过开集的概念来验证映射的连续性