数学分析之泰勒级数与高阶中值定理

泰勒级数与高阶中值定理

费马引理

设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)内有定义,并且在\(x_0\)处可导,如果对任意的\(x\in U(x_0)\),有 \[f(x)\le f(x_0)或f(x)\ge f(x_0)\] 那么\(f^\prime(x_0)=0\)

费马引理的一个推论是,函数\(f\)在定义域\(A\)内的最大值和最小值只能在边界上,不可导的点,或驻点取得。

费马引理证明

假设\(x_0\)是一个极大值(如果\(x_{0}\)是极小值,证明亦类似)。那么存在一个\(\delta >0\),使得对于所有的\(|x-x_{0}|<\delta\),都有\(f(x_{0})\geq f(x)\)。因此对于任何\(h \in (0,\delta)\),有: \[\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\leq 0 \tag{1}\] 由于当\(h\)从上方趋于0时,这个比值的极限存在且为 \(f'(x_0)\),我们便有\(f'(x_0) \le 0\)。另一方面,当 \(h \in (-\delta,0)\)时,我们注意到: \[\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \geq 0\tag{2}\]\(h\)从下方趋于0时,这个极限存在,且等于 \(f'(x_0)\),我们又有\(f'(x_0) \ge 0\)

因此\(f'(x_0) = 0\)

一阶微分中值定理

罗尔(Rolle)中值定理

\(y=f(x)\)满足:

  1. 在区间[a,b]上连续
  2. 在区间(a,b)内可导
  3. \(f(a)=f(b)\)

\(\Rightarrow\)在(a,b)内至少存在一点\(\xi\),使\(f'(\xi)=0\)

罗尔(Rolle)中值定理证明:

\(f(x)\)在[a,b]上连续,故在[a,b]上取得最大值M和最小值m。

\(M=m\),则\(f(x)\equiv M,x\in [a,b],\),因此\(\forall\xi\in(a,b),f'(\xi)=0\)

\(M>m\),则M和m中至少有一个与端点值不相同,不妨设极大值\(M\neq f(a)\),则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\),使\(f(\xi)=M\),则费马引理可知\(f'(\xi)=0\)(只有在驻点才可能取得极值)。

注意:定理条件不全具备,结论不一定成立。

(1)函数不连续 \[f(x)=\begin{cases} x,\quad 0\leq x <1 \\ 0,\quad x=1 \end{cases}\] 函数不连续
图1 函数不连续
(2)函数不可导 \[f(x)=\|x\|,x\in [-1,1]\] 函数不可导
图2 函数不可导

拉格朗日(Langrange)中值定理

\(y=f(x)\)满足:

  1. 在区间[a,b]上连续
  2. 在区间(a,b)内可导

\(\Rightarrow\)至少存在一点\(\xi\in(a,b)\),使\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

拉格朗日(Langrange)中值定理证明:

可以把问题转为证明\(f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)。我们作辅助函数: \[\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\] 显然,\(\phi(x)\)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且\(\phi(a)=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}=\phi(b)\)

\(\phi(x)\)函数可由罗尔定理只至少存在一点\(\xi\in(a,b)\),使\(\phi'(\xi)=0\),即定理结论整理。证毕。

柯西(Cauchy)中值定理

\(f(x)\)\(F(x)\)满足:

  1. 在闭区间[a,b]上连续
  2. 在开区间(a,b)内可导
  3. 在开区间(a,b)内\(F(x)\neq0\)

\(\Rightarrow\)至少存在一点\(\xi\in(a,b)\),使\(\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\)

证明同拉格朗日中值定理。

中值定理之间关系
图3 中值定理之间关系

泰勒中值定理

\(f(x)\)在包含\(x_0\)的某开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数,则当\(x\in(a,b)\)时,有 \[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)(1)\] \[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}(2)\] 其中,\(\xi\)\(x\)\(x_0\)之间(\(x\in [min(x,x_0),max(x,x_0)]\))。

公式(1)为泰勒n+1阶展开式。公式(2)为n+1阶泰勒余式,称为拉格朗日余项。

泰勒中值定理的一阶展开

如果\(f(x)\in C^2,P=1,\xi在x_0和x之间\),那么 \[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_0)^2,\xi\in\] 变量\(x\)变成高维(\(0\leq \alpha \leq 1\)): \[f(\textbf{x}+\boldsymbol{\delta})=f(\textbf{x})+\textbf{g}(\textbf{x})^T\boldsymbol{\delta}+\frac{1}{2}\boldsymbol{\delta}^T\textbf{H}(\textbf{x}+\alpha\boldsymbol{\delta})\boldsymbol{\delta}\] 其中,\(\textbf{g}(\textbf{x})\)为一阶导函数向量(梯度),\(\textbf{H}(\textbf{x})\)为多元函数的海森矩阵。