数学分析之水平集

数学分析之水平集

水平集是数学中的中一个重要概念，这个概念和函数图像有着直观的联系，同时水平集也和函数的连续性，拟凸性，等高线图有着直接的联系。

水平集

在数学领域中, 一个具有\(n\)变量的实值函数\(f\)的水平集是具有以下形式的集合 \[ \{(x_1,...,x_n)|f(x_1,...,x_n)=c\} \]

其中\(c\)是常数， 即使得函数值具有给定常数的变量集合。当具有两个变量时, 称为水平曲线(等高线), 如果有三个变量, 称为水平曲面, 更多变量时, 水平集被叫做水平超曲面。

例子

例如, 指定一个半径\(r\), 圆的方程可以定义为一个等高线： \[ r^2=x^2 + y^2 \] 如果取\(r=5\), 那么等高值为\(c=5^2=25\)。

所有使得\(x^2 + y^2=25\)的点\((x,y)\)构成了它的等高线。 这就是说他们属于等高线的水平集。 如果\(x^2 + y^2\)小于 25 这个点\((x,y)\)就在等高线的内部;如果大于25，这个点就在等高线外部。

水平集与梯度

定理： 函数\(f\)在一点处的梯度与在该点处\(f\)的水平集垂直。

这个定理是十分不寻常的。为更好的理解定理的含义，设想两个旅行者在一座山峰的同一位置。其中一个人很大胆，决定从坡度最大的地方走。另一个人比较保守；他不想向上爬，也不想走下去，选择了一条在同一高度的路。上面的定理就是说，这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的。

Level_grad.png

上水平集和下水平集

集合\(\{ (x_1,...,x_n) | f(x_1,...,x_n) ≤ c \}\)被称为\(f\)的下水平集或子水平集;

集合\(\{ (x_1,...,x_n) | f(x_1,...,x_n) \geq c \}\)被称为\(f\)的上水平集。

上下水平集与最大最小值定理相关：

定义：对于一个拓扑空间\(X\)，如果

• \(f:X→R\)是下半连续的，则其任意下水平集是闭的。
• \(f:X→R\)是上半连续的，则其任意上水平集是闭的。

通过半连续性，我们可以知道一个映射是否可以取到最值： >定理：设\(X\)是非空紧集，\(f:X→R\)则： > >- \(f\)下半连续\(\Rightarrow\)函数有最小值 >- \(f\)上半连续\(\Rightarrow\)函数有最大值

具体可以参考魏尔斯特拉斯极值定理

上下水平集与拟凸拟凹函数有关：

\(f:R^n→R, \mathop{dom}f\)是凸集，\(\alpha-\)下水平集是凸集，则\(f(x)\)为拟凸函数。即 \[f:R^n→R,s.t.\, S_\alpha=\{x\in \mathop{dom} f| f(x)\geq \alpha\}为凸集\] \(f\)是拟凸函数，我们称\(-f\)为拟凹函数,拟凹函数的\(\alpha-\)上水平集是凸集。