实变函数1之简单函数积分

• 简单函数积分定义
• 简单函数的柯西序列
• 习题

简单函数的积分

简单函数积分定义

简单函数:函数\(f:X\rightarrow \mathbb{R}\)称为简单函数（simple function），如果存在有限个不相交的可测子集\(\{E_1,E_2,\dotsb,E_m\}\)和有限个实数\(\alpha_1,\alpha_2,\dotsb,\alpha_m\),使得\(X=E_1\cup E_2\dotsb\cup E_m\)和\(\forall j,f=\alpha_j \quad on \quad E_j\)。

此时 \(f\) 可表示为： \(f(x)=\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j\chi_{E_j}(x)\) ，\(\chi_{E_j}\)是可测子集 \(E_j\) 的特征函数(即示性函数)。

简单函数

• 注1:简单函数的取值\(\alpha_1,\alpha_2,\dotsb,\alpha_m \in \mathbb{R}\)没有要求两两不同
• 注2:由定义可知,简单函数是可测的.

定义:(可积简单函数在全空间\(X\)上的积分）

测度空间 \((X,\mathcal{F},\mu)\) 上的简单函数 \(f=\sum\limits_{i=1}^m \alpha_i\chi_{E_i}\) 称为是可积的(integrable)，如果当 \(\alpha_i\neq 0\) 时，有 \(\mu(E_i)<\infty\)。然后我们规定当 \(\alpha_i=0,\mu(E_i)=\infty\) 时，\(\alpha_i\mu(E_i)=0\)。此时，定义\(f\)积分的值为 \[\sum\limits_{i=1}^m \alpha_i\mu(E_i)\] 将这个值记做\(\int f(x) d\mu(x)\),或者 \(\int f d\mu\)或者\(\int f\) ，即是\(\int f(x) d\mu(x)=\int f d\mu=\int f=\sum\limits_{i=1}^m \alpha_i\mu(E_i)\)。

注:如果加上积分空间,则\(\int f\)可以写成\(\int_X f\)。由上面定义知：这个定义即是要求积分是有限值，即 \(\int f d\mu <\infty\)(有限)。

这个积分已经有勒贝格积分的意思了，对值域进行划分，然后统计定义域的测度。从可积的定义来看相当于积分值小于\(\infty\)。

注意到简单函数\(f\)可能有另外一种表示方式(拆分方式)，比如 \(f=\sum\limits_{j=1}^n \beta_j\chi_{F_j}\) ，我们来验证积分这个定义是well-defined：即是验证\(f\)在不同表示方式下的积分值是唯一的，即是验证： \[ \sum_{i=1}^m \alpha_i\chi_{E_i}=\sum_{j=1}^n \beta_j\chi_{F_j}\Rightarrow \sum_{i=1}^m \alpha_i\mu(E_i)=\sum_{j=1}^n \beta_j\mu(F_j) \]

证明：当\(E_i\cap F_j \neq \emptyset\)时，在交集\(E_i\cap F_j\)上元素函数值相等即\(\alpha_i=\beta_j\),此时记\(\gamma_{ij}=\alpha_i=\beta_j\) 然后每个\(E_i\)可表示为不相交的\(E_i\cap F_j\)的并（因为\(F_j\)互不相交）,即\(E_i=\bigcup\limits_{j=1}^n(E_i\cap F_j)\) 则有 \[ \sum_{i=1}^m \alpha_i\mu(E_i)\overset{测度可列可加性}{=}\sum_{i=1}^m \alpha_i\sum_{j=1}^n\mu(E_i\cap F_j)\\ =\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_{ij}\mu(E_i\cap F_j) \] 同理也有 \[ \sum_{j=1}^n \beta_j\mu(F_j)\overset{测度可列可加性}{=}\sum_{j=1}^n \beta_j\sum_{i=1}^m\mu(F_j\cap E_i)\\ =\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_{ij}\mu(E_i\cap F_j) \] 因为\(m,n\)是有限数，故双重求和符号可以交换次序。 即是\(\sum\limits_{i=1}^m \alpha_i\mu(E_i)=\sum\limits_{j=1}^n \beta_j\mu(F_j)\)

命题1：在测度空间\((X,\mathcal{F},\mu)\)中，

(a)\(f\)是简单函数，\(E\in \mathcal{F}\)是可测集。则\(\chi_E\cdot f\)也是简单函数；

(b)\(f\)是简单函数，且可积分；\(E\in \mathcal{F}\)是可测集。则\(\chi_E\cdot f\)也可积分（隐含着也是简单函数）；

证明：

（a） 首先说明易证 \(\chi_A\cdot\chi_B=\chi_{A\cap B}\)。\(f\)是简单函数，因此\(f\)可以写成\(f=\sum\limits_{i=1}^m\alpha_i\chi_{E_i}\)，其中\(E_i\cap E_j=\emptyset, X=\bigcup\limits_{i=1}^mE_i\)（即两两互不相交且并为全集），那么\(\chi_E\cdot f=\chi_E\cdot \sum\limits_{i=1}^m\alpha_i\chi_{E_i}=\sum\limits_{i=1}^m\alpha_i(\chi_E\cdot\chi_{E_i})=\sum\limits_{i=1}^m\alpha_i\chi_{E_i\cap E}\)

所以\(\chi_E\cdot f\)也是简单函数，且空间由\(X\)restrict到\(E\)。

（b） 要证明简单函数可积，即要证明其积分\(\int \chi_E\cdot fd\mu\)有限。 \[ \int \chi_E\cdot f d\mu=\sum_{i=1}^m \alpha_i \mu(E_i\cap E)\overset{测度单调性}{\leq} \sum_{i=1}^m \alpha_i \mu(E_i)\\ =\int f d\mu < \infty \] 故\(\chi_E\cdot f\)是可积的。

定义2：可积简单函数在可测子集\(E\)上的积分。测度空间\((X,\mathcal{F},\mu)\)，设\(E\)是可测子集。定义可积简单函数\(f\)在\(E\)上的积分为： \[ \int_E fd\mu=\int_X \chi_E\cdot f d\mu = \sum_{i=1}^m \alpha_i \mu(E_i\cap E) \] 其中\(X=\bigcup\limits_{i=1}^m E_i\)，且\(E_i\cap E_j=\emptyset, \forall i\neq j\)

本章从简单函数开始定义积分，所有简单函数定义出来的积分本质上都是在求和。

命题2：特征函数\(\chi_E\)可积当且仅当\(E\)是可测集且\(\mu(E)<\infty\)

证明：必要性。特征函数是简单函数，若可积，则由定义隐含着(a)\(E\)是可测的；(b)\(\int \chi_E d\mu<\infty\)。而\(\int \chi_E d\mu=\int_E d\mu=\mu(E)\)。也就是\(E\)是可测的和\(\mu(E)<\infty\)

充分性。若\(E\)是可测集且\(\mu(E)<\infty\)。显然有\(\int \chi_E d\mu=\int_E d\mu=\mu(E)<\infty\),故特征函数\(\chi_E\)可积。

定理1：（简单函数的基本积分性质）

测度空间\((X,\mathcal{F},\mu)\)，设\(f,g\)是可积的简单函数，\(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\)，默认测度都是一般的测度不是signed measure。

1. \(\alpha f+\beta g\) 是可积的简单函数，且\(\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g\)即线性

2. \(fg\) 也是可积的简单函数

3. \(|f|\) 是可积的简单函数，且\(|\int f|\leq \int |f|\)

4. 如果\(f\geq 0, a.e\)，则\(\int f\geq 0\)

5. 如果\(f \geq g, a.e\)，则\(\int f \geq \int g\)

6. \(\int |f+g| \leq \int |f|+\int |g|\)

7. 设可测子集 \(E\) 满足 \(\mu(E)<\infty\) ,且在\(E\)上有\(m\leq f\leq M, a.e\)。则\(m\mu(E)\leq \int_E fd\mu\leq M\mu(E)\)

8. 如果\(f\geq 0,a.e\) , \(E\subseteq F \in \mathcal{F}\) ，则\(\int_E f \leq \int_F f\)

9. 设\(E=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k\), \(E,E_k\in \mathcal{F}\)且\(E_{k1}\cap E_{k2}=\emptyset\),则\(\int_E f=\sum\limits_{k=1}^\infty\int_{E_k}f\)

注：性质(9)表明\(S(E)=\int_E f d\mu\) (看成是关于\(E \)的函数)是一个signed measure，因为有可列可加性质，且容易证\(S(\emptyset)=0\)

证明：因为\(f,g\)是简单函数。故设\(f=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\chi_{E_i},g=\sum\limits_{j=1}^n\beta_j \chi_{F_j}\)。注意区分在证明简单函数积分是well-defined的表达式，那是\(f\)的两种拆分，而此时是两个函数。其中\(\{E_i\}\)两两不交，\(\{F_j\}\)两两不交，且\(\bigcup\limits_i^m E_i=\bigcup\limits_j^n F_j=X\)。

（1）由于\(\{F_j\}\)互不相交且所有\(\{F_j\}\)的并为全集，所以\(\forall i, E_i=\bigcup\limits_{j=1}^n(E_i\cap F_j)\)，故\(\chi_{E_i}=\sum\limits_{j=1}^n\chi_{E_i\cap F_j}\)，同理有\(\chi_{F_j}=\sum\limits_{i=1}^m\chi_{E_i\cap F_j}\)。注意到\(\{E_i\cap F_j\}\)是两两互不相交的。所以： \[ \begin{aligned} \alpha f+\beta g &= \sum_{i=1}^m \alpha \alpha_i \chi_{E_i}+\sum_{j=1}^n\beta\beta_j \chi_{F_j}\\ &=\sum_{i=1}^m \alpha \alpha_i \sum_{j=1}^n\chi_{E_i\cap F_j}+\sum_{j=1}^n\beta\beta_j\sum_{i=1}^m\chi_{F_j\cap E_i}\\ &\overset{有限求和可交换次序}{=}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(\alpha\alpha_i+\beta\beta_j)\chi_{E_i\cap F_j} \end{aligned} \] 因此\(\alpha f+\beta g\)是simple fuction，然后我们计算其积分 \[ \begin{aligned} \int_X\alpha f+ \beta g &= \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(\alpha\alpha_i+\beta\beta_j)\mu(E_i\cap F_j)\\ &=\sum_{i=1}^m \alpha \alpha_i \sum_{j=1}^n\mu(E_i\cap F_j)+\sum_{j=1}^n\beta\beta_j\sum_{i=1}^m\mu(E_i\cap F_j)\\ &\overset{测度可列可加性}{=}\alpha\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(\bigcup_{j=1}^n (E_i\cap F_j))+\beta\sum_{j=1}^n\beta_j\mu(\bigcup_{i=1}^m(E_i\cap F_j))\\ &=\alpha\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(E_i)+\beta\sum_{j=1}^n\beta_j\mu(F_j)\\ &=\alpha \int_X f+ \beta\int_X g<\infty(f,g可积) \end{aligned} \] 可积简单函数的线性得证。

（2）\(fg=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n \alpha_i\beta_j\chi_{E_i\cap F_j}\)，易得\(fg\)是simple function。

而当\(\alpha_i\neq 0\)时，\(\mu(E_i\cap F_j)\leq \mu(E_i)<\infty\) (因为\(f\)可积，定义要求当\(\alpha_i\neq 0\)时，\(\mu(E_i)<\infty\))。因此\(\int_x fg = \sum\limits_{\alpha\neq 0,\beta\neq 0}\alpha_i\beta_j \mu(E_i\cap F_j)<\infty\)，即\(fg\)可积。

（3）\(f\)在每个\(E_i\)上的取值是\(\alpha_i\)，则\(|f|\)在\(E_i\)上的取值为\(|\alpha_i|\)。所以\(|f|\)只取有限个值，并且仍能够拆分成有限个不相交的部分，故\(|f|\)是simple function。因为\(|\alpha_i|\neq 0\)时，\(\mu(E_i)<∞\)，所以\(|f|\)是可积的。

由于测度\(\mu(E_i)≥0\)，因此\(|\alpha_i|\mu(E_i)≥\alpha_i\mu(E_i)\)恒成立，因此 \[ \int |f|=\sum_{i=1}^m|\alpha_i|\mu(E_i)≥|\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(E_i)|=|\int f| \]

（4）由\(f=\sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \chi_{E_i}≥0, a.e\)可知，对任一\(\alpha_i≥0\)，有\(\mu(E_i)≥0\)，对\(\alpha_i<0\)对应的\(E_i\)，则有\(\mu(E_i)=0\)(根据a.e)的定义可知。因此有\(\int f = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \mu(E_i)≥0\)

（5）令\(h=f-g≥0\)，根据（4）和（1）线性可得（5）。

（6）\(f，g\)可积→由（1）可知\(f+g\)可积→由（3）可知\(|f+g|\)可积→由三角不等式可知\(|f+g|≤|f|+|g|\)→由（5）可知\(\int |f+g|≤\int |f|+\int |g|\)

（7）平凡的

（8）\(E\subseteq F\)等价于\(\chi_{E}≤\chi_F\)。又因为\(f≥0,a.e\)。故\(\chi_E f≤\chi_F f, a.e\)，根据（5）可有\(\int \chi_E f≤\int \chi_F f\)即为\(\int_E f ≤ \int_F f\)

（9）简单函数积分的可列可加性。已知\(f=\sum\limits_{i=1}^m \alpha_i\chi_{E_i}\)，而\(\chi_E\cdot f = \sum\limits_{i=1}^m\alpha_i\chi_{E_i\cap E}\)。因此有 \[ \begin{aligned} \int_E f &= \sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(E_i\cap E)\\ (拆分E)&=\sum_{i=1}^m\alpha_i\sum_{k=1}^∞\mu(E_i\cap E_k)\\ &=\sum_{k=1}^∞\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(E_i\cap E_k)\\ &=\sum_{j=1}^∞\int \chi_{E_k}\cdot f=\sum_{k=1}^∞\int_{E_k} f \end{aligned} \]

简单函数的柯西序列

我们目的是定义更一般函数的积分，为此做准备，现在引入简单函数序列\(\{f_n\}\)的概念。

定义3：积分的简单函数序列\(\{f_n\}\)被称为柯西序列，如果满足：\(\int |f_n-f_m|→0,\) as \(n,m→\infty\),也就是对任意\(\varepsilon>0\)，存在\(N\)，使得\(m,n≥N\)时，有\(\int |f_n-f_m|<\varepsilon\)，此时记作\(\{f_n\}\)柯西序列。

注1：就是定义了在"in mean"这种收敛方式下的柯西序列。？？

注2：不要忘记，定义中的积分是对全空间\(X\)积分。

引理1：可积的简单函数序列\(\{f_n\}\)若是柯西序列，则：存在几乎处处实值的可测函数\(f\)，使得\(f_n→f\)依测度收敛。

习题

1 测度空间\((X,\mathcal{F},\mu)\)。设\(f\)是简单函数，证明：\(f\)几乎处处为0，当且仅当，对任意的可测集\(E\),有\(\int_E f=0\)

\(f\)是简单函数，设\(f\)取值为\(\alpha_i \in \mathbb{R}, i=\{1,2,\dotsb,m\}\)，\(X=\bigcup\limits_{i=1}^m E_i, E_i\cap E_j = \emptyset\)

"\(\Rightarrow\)": \(f=0,a.e\)，则对\(\alpha_i\neq 0,\mu(E_i)=0\)。

那么对任意可测集\(E\), \[ \int_E f=\int \chi_{E}f = \sum_{i=1}^m \alpha_i\mu(E\cap E_i)\\ ≤\sum_{i=1}^m \alpha_i\mu(E_i)=\sum_{\alpha_i\neq 0}\alpha_i\mu(E_i)=0 \] "\(\Leftarrow\)"：反证法。假设\(f\)不是几乎处处为0。因为\(f\)是简单函数只取有限个值，那么就存在\(\alpha_k>0\)且\(\mu(E_k)>0\)或\(\alpha_k<0\)且\(\mu(E_k)<0\)。不妨设是在\(\alpha_k>0\)且\(\mu(E_k)>0\)。那么取\(E=E_k\) ,\(f\)在\(E_k\)上的积分为 \[ \int_{E_k} f=\int \chi_{E_k}f = \sum_{i=1}^m \alpha_i\mu(E_k\cap E_i)\\ =\alpha_k\mu(E_k\cap X)=\alpha_k\mu(E_k)>0 \] 这与假设矛盾，故\(f\)几乎处处为0

即如果\(f\)是非负、可积的简单函数，且 \(\int f = 0\),证明 \(f=0, a.e\)